Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Beserta Metode Penyelesaiannya Kelas 10

Hai gaes. Apa kabar kalian? Semoga sehat selalu yaa..

Sudah siapkan cemilan? Saatnya kita belajar matematika bersama.

Kali ini akan dibahas mengenai sistem persamaan linear tiga variabel atau sebutan kerennya adalah SPLTV. Masih ingat SPLDV yang dipelajari di kelas 8? Dulu kita mempelajari sistem persamaan linear dua variabel beserta cara menyelesaikannya. Di kelas 10, sistem persamaan linearnya naik level menjadi tiga variabel. Cara penyelesaiannya tidak jauh berbeda, Hanya saja tingkat keribetannya memang bertambah. Tetapi jangan khawatir. Tidak sesulit itu kalau kalian memahaminya. Ayo kita bahas satu per satu.

Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan "sama dengan". Dimana kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya. Biasanya, kalimat terbuka memuat variabel. Jika variabel diganti dengan bilangan tertentu, kalimat terbuka akan menjadi pernyataan bernilai benar atau salah. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar. 

Contoh: x + 3 = 5 atau (4x - 1)² = 0.

Persamaan linear tiga variabel adalah persamaan yang memiliki tiga variabel dengan pangkat (derajat) variabelnya adalah satu. 

Bentuk umum:  ax + by +cz = d 

dengan a sebagai koefisien dari x

            b sebagai koefisien dari y

            c sebagai koefisien dari z

            x, y, z sebagai variabel 

            d sebagai konstanta

            a, b, c, d ∈ bilangan real

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear yang memiliki tiga variabel, atau simpelnya kumpulan persamaan linear dengan tiga variabel. Kumpulan persamaan linear dikatakan membentuk sistem persamaan linear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap persamaan linear pada sistem tersebut.

Bentuk umum:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

dengan a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂, d₃ adalah bilangan real.

Himpunan Penyelesaian SPLTV

Himpunan penyelesaian SPLTV adalah himpunan semua triple terurut (x, y, z) yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut. Terdapat tiga kemungkinan penyelesaian SPLTV, yaitu tidak memiliki penyelesaian, memiliki tepat satu penyelesaian, dan memiliki tak hingga penyelesaian. 

Apabila penyelesaian sebuah sistem persamaan linear semuanya nilai variabelnya adalah nol, maka penyelesaian tersebut dikatakan penyelesaian trivial. Misalnya diketahui sistem persamaan linear 3x + 5y + z = 0; 2x + 7y + z = 0; dan x – 2y + z = 0. Sistem persamaan linear tersebut memiliki suku konstan (konstanta) nol dan mempunyai penyelesaian yang tunggal, yaitu untuk x = y = z = 0. Sistem persamaan linear tersebut dapat disebut sistem persamaan linear homogen. 

Misalkan terdapat sistem persamaan linear tiga variabel

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

1). Tidak memiliki penyelesaian

      Jika 

     

     atau determinan matriks koefisiennya sama dengan nol.

     Contoh: 

      x + 2y - z = 1

    2x + 4y - 2z = 3

      x + y - 2z = -1

    

2). Memiliki tepat satu penyelesaian

     Jika ketiga persamaan tersebut tidak berimpit maupun sejajar

     atau determinan matriks koefisiennya tidak sama dengan nol.

     Contoh: 

      3x + y - 2z = -1

     x + 2y + 4z = 12

        x - 3y + z = 10

3). Memiliki tak hingga penyelesaian

     Jika

    

    atau ketiga persamaan tersebut berimpit atau sejajar.

     Contoh: 

      3x + y - 2z = -1

     6x + 2y - 4z = -2

       9x + 3y - 6z = -3

Metode Menyelesaikan SPLTV

Misalkan terdapat sistem persamaan linear tiga variabel

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

SPLTV tersebut dapat diselesaikan dengan lima metode, yaitu:

1). Metode Substitusi 

    Metode substitusi artinya mengganti nilai variabel di suatu persamaan dengan persamaan lain. Misalkan persamaan pertama pada SPLTV diubah menjadi x = (- b₁y - c₁z + d₁) / a₁. Lalu ganti variabel x pada persamaan kedua dengan (- b₁y - c₁z + d₁) / a₁ sehingga didapatkan a₂ [(- b₁y - c₁z + d₁) / a₁] + b₂y + c₂z = d₂ ⇔ [- (a₂b₁/ a₁) + b₂]y + [- (a₂c₁/ a₁) + c₂]z = d₂ - (a₂d₁/ a₁). Lakukan penggantian nilai variabel ini hingga didapatkan penyelesaiannya. 

2). Metode Eliminasi

    Metode eliminasi artinya mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel untuk mengetahui variabel yang lain dari dua persamaan yang berbeda. 

3). Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)

    Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi dan substitusi. Metode ini adalah metode yang sering saya gunakan bila mencari himpunan penyelesaian SPLTV. Biasanya saya gunakan dulu metode eliminasi, lalu dilanjutkan dengan metode substitusi.

4). Metode Determinan / Cramer

    Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur pada matriks persegi, yaitu matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama. Determinan matriks 3x3 (untuk kasus SPLTV), bisa didapatkan dengan 3 cara, yaitu metode Sarrus, ekspansi kofaktor, dan Operasi Baris Elementer (OBE). Berikut rumus untuk mendapatkan penyelesaian SPLTV menggunakan metode determinan. 

 

Dengan metode sarrus, diperoleh nilai determinannya sebagai berikut.

5). Metode Invers Matriks

    Ubah SPLTV menjadi bentuk matriks Ax= B, sehingga diperoleh:

   

    Ax = B ⇔ x = A-1B dengan det(A) ≠ 0

    

    Untuk menentukan invers dari matriks, ada dua cara, yaitu dengan menggunakan adjoin atau OBE.

    Dengan menggunakan adjoin, penyelesaian SPLTVnya adalah sebagai berikut.

Untuk metode determinan dan invers, kalian harus paham dulu mengenai matriks. Gunakan cara yang menurut kalian mudah. Metode substitusi, eliminasi dan gabungan, tidak harus sama langkahnya seperti yang saya contohkan. Terserah kalian ingin mengeliminasi persamaan 1 dengan 2 atau persamaan 2 dengan 3 terlebih dahulu, yang penting teliti dalam mengerjakannya. Misalkan kalian ingin mensubstitusikan y = .... atau z =... terlebih dahulu, silakan saja. Gunakan kreativitas kalian juga yaa..

Contoh

Jika diketahui suatu sistem persamaan sebagai berikut.

2x - y + z = 5

x + 2y - z = 6

3x + y + 2z = 13

Tentukan penyelesaiannya!

Pembahasan:

Metode Substitusi

2x - y + z = 5 ... (i)

x + 2y - z = 6 ... (ii)

3x + y + 2z = 13 ... (iii)

Dari (ii) diperoleh,

x + 2y - z = 6 ⇔ x = 6 - 2y + z ... (iv)

Substitusikan (iv) ke (i)

2x - y + z = 5 ⇒ 2(6 - 2y + z) - y + z = 5

                      ⇔ 12 - 4y + 2z - y + z = 5

                      ⇔          -5y + 3z + 12 = 5

                      ⇔                   -5y + 3z = -7 ... (v)

Substitusikan (iv) ke (iii)    

3x + y + 2z = 13 ⇒ 3(6 - 2y + z) + y + 2z = 13

                           ⇔ 18 - 6y + 3z + y + 2z = 13

                         ⇔                -5y + 5z +18 = 13

                         ⇔                                 5y =  5z + 5

                         ⇔                                   y = z + 1  ... (vi)

Substitusikan (vi) ke (v)

-5y + 3z = -7 ⇒ -5(z + 1) + 3z = -7

                     ⇔     -5z - 5 + 3z = -7

                     ⇔                 -2z  = -2

                     ⇔                      z = 1 ... (vii)

Substitusikan (vii) ke (vi)

y = z + 1 ⇒ y = (1) + 1

               ⇔ y  = 2 ... (viii)

Substitusikan (vii) dan (viii) ke (iv)

x = 6 - 2y + z ⇒ x = 6 - 2(2) + (1)

                      ⇔ x = 6 - 4 + 1

                      ⇔ x = 3

Jadi, x = 3, y = 2, z = 1, atau dapat dituliskan HP = {(3, 2, 1)}

Metode Eliminasi

2x - y + z = 5 ... (i)

x + 2y - z = 6 ... (ii)

3x + y + 2z = 13 ... (iii)

Dari (i) dan (ii), diperoleh

2x - y + z = 5 

x + 2y - z = 6

----------------- +

3x + y      = 11 ... (iv)

Dari (ii) dan (iii), diperoleh

  x + 2y - z   = 6   | x 2 | 2x + 4y - 2z = 12

3x + y  + 2z = 13 | x 1 | 3x + y  + 2z = 13

                                     ---------------------- +

                                      5x + 5y        = 25

                                 ⇔   x + y          = 5 ...(v)

Dari (iv) dan (v), diperoleh

    3x + y = 11

      x + y = 5

    ------------- -

    2x       = 6

⇔  x       = 3 ... (vi)

Dari (v) dan (vi), diperoleh

x + y = 5

x       = 3

------------ -

      y = 2 ... (vii)

Dari (i) dan (vi), diperoleh

2x - y + z = 5 | x1 | 2x - y + z = 5

x              = 3 | x2 | 2x             = 6

                              ------------------ -

                                    - y + z = -1 ... (viii)

Dari (viii) dan (vii), diperoleh

- y + z = -1

  y       = 2

-------------- +

        z = 1

Jadi, x = 3, y = 2, z = 1, atau dapat dituliskan HP = {(3, 2, 1)}

Metode Gabungan

2x - y + z = 5 ... (i)

x + 2y - z = 6 ... (ii)

3x + y + 2z = 13 ... (iii)

Dari (i) dan (ii), diperoleh

2x - y + z = 5 

x + 2y - z = 6

----------------- +

3x + y      = 11 ... (iv)

Dari (ii) dan (iii), diperoleh

  x + 2y - z   = 6   | x 2 | 2x + 4y - 2z = 12

3x + y  + 2z = 13 | x 1 | 3x + y  + 2z = 13

                                     ---------------------- +

                                      5x + 5y        = 25

                                 ⇔   x + y          = 5 ...(v)

Dari (iv) dan (v), diperoleh

    3x + y = 11

      x + y = 5

    ------------- -

    2x       = 6

⇔  x       = 3 ... (vi)

Substitusi (vi) ke (v)

x + y = 5 ⇒ (3) + y = 5

                ⇔         y = 2 ... (vii)

Substitusikan (vi) dan (vii) ke (i)

2x - y + z = 5 ⇒ 2(3) - (2) + z = 5

                      ⇔        6 - 2 + z = 5

                      ⇔             4 + z = 5

                      ⇔                   z = 1

Jadi, x = 3, y = 2, z = 1, atau dapat dituliskan HP = {(3, 2, 1)}

Metode Determinan

2x - y + z = 5

x + 2y - z = 6

3x + y + 2z = 13

Jadi, x = 3, y = 2, z = 1, atau dapat dituliskan HP = {(3, 2, 1)}

Metode Invers Matriks

2x - y + z = 5

x + 2y - z = 6

3x + y + 2z = 13

SPLTV jika dituliskan dalam bentuk matriks menjadi

Penyelesaian SPLTVnya adalah

Jadi, x = 3, y = 2, z = 1, atau dapat dituliskan HP = {(3, 2, 1)}

Begitulah kira-kira mengenai sistem persamaan linear tiga variabel. Perbanyak latihan soal ya agar semakin paham.

Semoga artikel ini dapat bermanfaat.

Apabila ada yang keliru, boleh komen di bawah.

Selamat belajar~

Salam Ngemeal 🍲