Fungsi (Part II): Menentukan Daerah Asal (Domain) dan Daerah Hasil (Range) Suatu Fungsi

Sebelumnya kita sudah mempelajari relasi dan fungsi. Kalau masih lupa, coba cek lagi artikel mengenai definisi fungsi dkk. Intinya, fungsi dalam matematika adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x ∈ A dengan tepat satu anggota f(x) ∈ B. Ingat ya, tepat satu!! Anggota domain fungsinya (Df) harus berpasangan dengan tepat satu anggota kodomain (Kf). Ga boleh jomblo, ga boleh juga selingkuh. Nah, anggota kodomain yang merupakan pasangan dari domain disebut range atau daerah hasil (Rf).

Fungsi dapat dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, h, s, dll. Misalnya, suatu fungsi f  dengan aturan f: A ⇾ B, dibaca fungsi f memetakan anggota himpunan A ke anggota himpunan B. Bisa juga dituliskan f: a ⇾ b atau f(a) = b dibaca fungsi f memetakan a ke b atau b adalah peta dari a. Contoh, g: x ➝ x² -2x, dibaca fungsi g memetakan x ke x² -2x. Bentuk penyebutan lain yang ekuivalen adalah g(x) = x² -2x dan y = x² -2x. 

Lalu bagaimana cara menentukan domain dan range suatu fungsi?

Ayo kita telusuri sama-sama.

Menentukan Domain dan Range Fungsi

Misalkan terdapat fungsi s. Seperti yang kita ketahui, s(x) adalah nilai y untuk sebuah nilai x yang diberikan. Dengan kata lain, s(x) = y yang berarti y adalah fungsi dari x. Daerah asal (domain) adalah semua nilai x yang memenuhi agar nilai fungsi atau y ada/terdefinisi, sedangkan daerah hasil (range) adalah semua nilai fungsinya (y). Perhatikan grafik fungsi s berikut. 

Kira-kira apa domain dan range dari fungsi s tersebut? 

Berdasarkan gambar di atas, diperoleh daerah asal (domain) fungsi s adalah semua bilangan real x pada interval x ≥ -1, ditulis Ds = {x| x ≥ -1, x ∈ R} atau Ds = x ∈ [-1, ∞). Daerah hasil (range) fungsi s adalah semua bilangan real y pada interval y ≥ -1, ditulis Rs = {y| y ≥ -1, y ∈ R} atau Rs = y ∈ [-1, ∞).

Untuk beberapa soal, daerah asal fungsinya sudah ditetapkan secara jelas (eksplisit). 

Misalnya, f(x) = 2x + 1, 0 < x < 3.

Berarti daerah asal fungsi tersebut adalah semua bilangan real x pada interval 0 < x < 3, ditulis Df = {x| 0 < x < 3, x ∈ R} atau Df = x ∈ (0, 3). Untuk daerah hasilnya, karena fungsi f termasuk fungsi linear , substitusikan saja nilai ujung interval ke dalam fungsi. Pada kasus ini, nilai ujung intervalnya adalah 0 dan 3. f(0) = 2(0)+ 1 = 1 dan f(3) = 2(3) + 1 = 7, sehingga daerah hasil dari fungsi f adalah semua bilangan real y pada interval 1 < y < 7, ditulis Rf = {y| 1<y<7, y ∈ R} atau Rf = y ∈ (1, 7).

Fungsi Linear

Apabila daerah asal (domain) fungsi linear tidak ditetapkan atau dicantumkan secara eksplisit, maka daerah asalnya adalah semua bilangan real x, ditulis Df = {x| x ∈ R} atau Df = x ∈ (-∞, ∞). Sehingga daerah hasil (range) nya pun adalah semua bilangan real y, ditulis Rf = {y| y ∈ R} atau Rf = y ∈ (-∞, ∞).

Apabila daerah asal (domain) fungsi linear sudah ditetapkan atau dicantumkan secara eksplisit, untuk menentukan daerah hasilnya, substitusikan saja nilai ujung interval daerah asal ke dalam fungsi.

Apabila fungsi linear disajikan dalam bentuk grafik, untuk menentukan daerah asal dan daerah hasilnya, perhatikan titik-titik ujung grafiknya.

Contoh

1. 

Sumber: Buku Matematika Kelas X

Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi dari grafik di atas.

Pembahasan

Titik-titik ujungnya adalah (-2,1) dan (8,6). Hati-hati!! titik (-2, 1) tidak dilalui fungsi (gambar titiknya bolong).

Daerah asal adalah nilai x yang memenuhi grafik, sehingga Df = {x| -2 < x ≤ 8, x∈ R} atau Df = x ∈ (-2, 8]. Daerah hasilnya adalah nilai y nya, sehingga Rf = {y| 1 < y ≤ 6, y∈ R} atau Df = y ∈ (1, 6].

2. Tentukan domain dan range dari g(x) = 4x - 5.

Pembahasan

Karena daerah asal tidak dicantumkan secara eksplisit, maka daerah asalnya adalah semua bilangan real x, ditulis Dg = {x| x ∈ R} atau Dg = x ∈ (-∞, ∞). Daerah hasil (range) nya  adalah semua bilangan real y, ditulis Rg = {y| y ∈ R} atau Rg = y ∈ (-∞, ∞).

3. Tentukan domain dan range dari h(x) = (1/2)x + 3,   6 ≤ x < 20

Pembahasan

Daerah asal fungsi h adalah semua bilangan real x pada interval 6 ≤ x < 20, ditulis Dh = {x| 6 ≤ x < 20, x ∈ R} atau Dh = x ∈ [6, 20). 

h(6) = (1/2)(6) + 3 = 6

h(20) = (1/2)(20) + 3 = 13

sehingga daerah hasil dari fungsi h adalah semua bilangan real y pada interval 6 ≤ y < 13, ditulis Rh = {y| 6 ≤ y < 13, y ∈ R} atau Rh = y ∈[6, 13).

Fungsi Kuadrat

Misalkan terdapat fungsi f dengan aturan f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0.

Apabila daerah asal (domain) fungsi kuadrat tidak ditetapkan atau dicantumkan secara eksplisit, maka daerah asalnya adalah semua bilangan real x, ditulis Df = {x| x ∈ R} atau Df = x ∈ (-∞, ∞). Sedangkan, untuk mencari daerah hasil (range) nya, hal yang pertama kita lakukan adalah cari titik puncaknya. Titik puncak fungsi kuadrat adalah (-b/2a, -D/4a). Yang kita butuhkan adalah nilai a dan titik ordinat dari titik puncak (-D/4a). Apabila a < 0, maka daerah hasil (range) adalah semua bilangan real y yang kurang dari atau sama dengan -D/4a, ditulis Rf = {y| y ≤ (-D/4a), y ∈ R} atau Rf = y ∈ (-∞, -D/4a]. Apabila a > 0, maka daerah hasil (range) adalah semua bilangan real y yang lebih dari atau sama dengan  -D/4a , ditulis Rf = {y| y ≥ (-D/4a), y ∈ R} atau Rf = y ∈ [-D/4a, ∞). 

Apabila daerah asal (domain) fungsi kuadrat sudah ditetapkan atau dicantumkan secara eksplisit, untuk menentukan daerah hasilnya, substitusikan saja nilai ujung interval daerah asal ke dalam fungsi. Jangan lupa untuk memperhatikan titik ordinat dari titik puncaknya.

Apabila fungsi kuadrat disajikan dalam bentuk grafik, untuk menentukan daerah asal dan daerah hasilnya, perhatikan titik-titik ujung grafiknya.

Contoh

Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut.

1.

    

Sumber: Buku Matematika Kelas X

    

2. h(x) = 2x² - 4x - 16

3. s(x) = x² - 1, -2 ≤ x ≤ 13

Pembahasan

1.

Sumber: Buku Matematika Kelas X

Dari grafik, terlihat bahwa daerah asal (domain)nya adalah semua bilangan real x, ditulis Df = {x| x ∈ R} atau Df = x ∈ (-∞, ∞). Terlihat pula, daerah hasil (range)nya adalah semua bilangan real y yang kurang dari atau sama dengan  2 , ditulis Rf = {y| y ≤  2, y ∈ R} atau Rf = y ∈ (∞, 2].

2. h(x) = 2x² - 4x - 16, dengan a = 2, b = -4, c = -16.

Daerah asalnya adalah semua bilangan real x, ditulis Dh = {x| x ∈ R} atau Dh = x ∈ (-∞, ∞).

Titik ordinat dari titik puncak

    -D/4a = -(b²-4ac)/4a

              = -((-4)²-4(2)(-16))/4(2)

              = -(16+128)/8

              = -(144)/8

              = -18

Karena a = 2 > 0, maka daerah hasil (range)nya adalah semua bilangan real y yang lebih dari atau sama dengan -18 , ditulis Rh = {y| y ≥ -18, y ∈ R} atau Rh = y ∈ [-18, ∞).

3. s(x) = x² - 1, -2 ≤ x ≤ 13

Daerah asal fungsi s adalah semua bilangan real x pada interval -2 ≤ x ≤ 13, ditulis Ds = {x| -2 ≤ x ≤ 13, x ∈ R} atau Ds = x ∈ [-2, 13]. 

s(-2) =(-2)² - 1 = 4-1 = 3

s(13) =(13)² - 1 = 169-1 = 168

sehingga daerah hasil dari fungsi s adalah semua bilangan real y pada interval 3 ≤ y ≤ 168, ditulis Rh = {y| 3 ≤ y ≤ 168, y ∈ R} atau Rh = y ∈[3, 168].

Fungsi Pecahan

Untuk menentukan domain fungsi pecahan, yang perlu kita perhatikan adalah pembuat nol penyebut dari fungsi pecahan tersebut. Suatu fungsi pecahan tidak akan terdefinisi untuk nilai x yang membuat penyebutnya bernilai nol, sehingga daerah asal fungsi pecahan adalah semua bilangan real x, kecuali si pembuat nol. Untuk menentukan range nya, kita pelajari dulu mengenai fungsi invers. Daerah hasil (range)nya adalah semua bilangan y, kecuali pembuat nol penyebut dari fungsi invers. Daerah hasil juga dapat dicari menggunakan limit.

Contoh

Tentukan domain dari fungsi-fungsi berikut.

1. 

2.  

3. 

Pembahasan

1. 

    Pembuat nol penyebut

    x+ 4 = 0 ⇔ x = -4

sehingga domain fungsinya adalah semua bilangan real x kecuali -4, ditulis Df = {x| x ∈ R, x ≠ -4} atau Df = x ∈ (-∞, -4) ∪ (-4, ∞).

2. 

    Pembuat nol penyebut

    x² - 5x - 6 = 0 ⇔ (x - 6)(x + 1) = 0

                            ⇔ x-6= 0 atau x+1=0

                            ⇔ x = 6 atau x = -1

sehingga domain fungsinya adalah semua bilangan real x kecuali 6 dan -1, ditulis Df = {x| x ∈ R, x ≠ -1, x ≠ 6} atau Df = x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 6) ∪ (6, ∞).

3. 

    Pembuat nol penyebut

    2x² - 14x = 0 ⇔ 2x (x - 7) = 0

                            ⇔ 2x= 0 atau x-7=0

                            ⇔ x = 0 atau x = 7

sehingga domain fungsinya adalah semua bilangan real x pada interval -3 ≤ x ≤ 9 kecuali 0 dan 7, ditulis Dg = {x| -3 ≤ x ≤ 9, x ≠ 0, x ≠ 7} atau Dg = x ∈ [-3, 0) ∪ (0, 7) ∪ (7, 9].

Fungsi Irasional (Bentuk akar)

Kalian masih ingat syarat bentuk akar? Yaa, syarat bentuk akar adalah nilai dalam akar haruslah bernilai positif atau nol. Fungsi irasional juga begitu. Fungsi irasional akan terdefinisi bila nilai dalam akar bernilai positif atau nol. Misalkan f(x) = √2x. Agar fungsi terdefinisi, maka 2x harus bernilai positif atau nol. 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0, sehingga domain fungsi f adalah semua bilangan real positif x atau nol,  ditulis Df = {x| x ≥ 0} atau Df = x ∈ [0, ∞). Jadi domain dari fungsi rasional bergantung pada nilai dalam akarnya.

Nilai akar tidak pernah negatif, sehingga daerah hasil (range) dari fungsi irasional adalah semua bilangan real positif y atau nol, ditulis Rf = {y| y ≥ 0} atau Rf = y ∈ [0, ∞). 

Contoh

Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut.

1. 
2. 

Pembahasan

1. 

    Syarat bentuk akar

    x² + 6x + 9 ≥ 0

⇔ (x + 3)² ≥ 0

semua bilangan real x memenuhi (x + 3)² ≥ 0, sehingga domain dari fungsi f adalah semua bilangan real x, ditulis Df = {x| x ∈ R} atau Df = x ∈ (-∞, ∞).

Karena fungsi f adalah fungsi irasional maka daerah hasil (range) dari fungsi f adalah semua bilangan real positif y atau nol, ditulis Rf = {y| y ≥ 0} atau Rf = y ∈ [0, ∞).

2.  

    Syarat bentuk akar

    2x - 5 ≥ 0

⇔ 2x ≥ 5

⇔ x ≥ 5/2

sehingga domain dari fungsi  adalah semua bilangan real x lebih dari atau sama dengan 5/2, ditulis Df = {x| x ≥ 5/2, x ∈ R} atau Df = x ∈ [5/2, ∞). Tapi karena di soal sudah dituliskan bahwa 3 < x < 15, maka domain fungsi h adalah bilangan real x antara 3 dan 15, ditulis Df = {x| 3 < x < 15, x ∈ R} atau Df = x ∈ [3, 15]. 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Masih banyak lagi fungsi-fungsi lainnya yang belum dibahas. Tapi tak perlu khawatir, asalkan kalian mengetahui syarat dari bentuk fungsi tersebut. Bentuk linear dan kuadrat (polinom) tidak ada syarat untuk nilai x sehingga fungsinya terdefinisi untuk semua bilangan real x. Berbeda dengan bentuk pecahan dan irasional. Bentuk pecahan memiliki syarat penyebut tidak boleh sama dengan nol. Bentuk akar memiliki syarat nilai di dalam akar harus positif atau nol. Lalu bagaimana bila fungsinya merupakan gabungan dari bentuk akar dan bentuk pecahan? Maka domain fungsinya adalah irisan dari domain fungsi-fungsi pembentuknya, atau irisan dari syarat masing-masing bentuk fungsi tersebut. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh

Tentukan domain dari fungsi !

Pembahasan

Syarat bentuk akar

    1 - x ≥ 0

⇔ -x ≥ -1

⇔ x ≤ 1

Syarat pecahan

3x² + 14x - 5 ≠ 0

Pembuat nol penyebut

3x² + 14x - 5 = 0 ⇔ (3x - 1)(x + 5) = 0

                            ⇔ 3x - 1= 0 atau x + 5 = 0

                            ⇔ x = 1/3 atau x = - 5

sehingga x ≠ 1/3 dan x ≠ - 5

Domain fungsi h adalah x ≤ 1 ∩ x ≠ 1/3 dan x ≠ - 5. Dengan kata lain Df = {x|  x ≤ 1, x ≠ 1/3,  x ≠ - 5} atau Df = x ∈ (-∞, -5) ∪ (-5, 1/3) ∪ (1/3, 1].

Hehe tidak sulit, bukan? Perbanyak latihan yaa..

Semoga artikel ini bermanfaat. Komen apabila ada yang keliru, oke?

Selamat belajar ~

Salam Ngemeal 🍲

Sumber: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. (2017). Matematika Kelas X Edisi Revisi. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. 

Bisa diakses online disini.