Teorema Nilai Mutlak (Sifat Nilai Mutlak) Beserta Pembuktiannya

Mungkin kata teorema masih terdengar asing di telinga pelajar sekolah menengah. Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang masih membutuhkan pembuktian sehingga pernyataan tersebut dapat dibuktikan bernilai benar. Kalian pasti pernah dengar atau baca tentang sifat-sifat bilangan berpangkat atau sifat-sifat bilangan bulat atau sifat-sifat lainnya. Nah, sifat-sifat tersebut dapat dikatakan sebagai teorema. 

Lalu, apa bedanya dengan definisi? Kalau definisi tidak perlu dibuktikan lagi, karena sudah pasti benar. Contoh:(definisi nilai mutlak)

Misalkan x adalah bilangan real, |x| dibaca nilai mutlak dari x dan didefinisikan sebagai:

Pada persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak, kita telah mempelajari sifat-sifat nilai mutlak yang dapat membantu dalam menyelesaikan permasalahan, baik persamaan maupun pertidaksamaan nilai mutlak. Berikut teorema nilai mutlak (sifat nilai mutlak) beserta pembuktiannya.

Teorema 1

Untuk setiap bilangan real x, berlaku 

|x| = |-x|

Bukti: 

Terdapat tiga kemungkinan, yaitu ketika x < 0, x = 0, dan x > 0.

             

Untuk x < 0

Jika x < 0, maka -x > 0.

|x| = -x, karena x < 0.

|-x| = -x, karena -x > 0.

Sehingga diperoleh |x| = -x = |-x|

atau dengan kata lain |x| = |-x| ✔️Terbukti.

Untuk x = 0

Jika x = 0, maka -x = 0.

Sehingga diperoleh x = 0 = -x atau x = -x.

Akibatnya |x| = |-x| ✔️Terbukti.

Untuk x > 0

Jika x > 0, maka -x < 0.

|x| = x, karena x > 0.

|-x| = -(-x) = x, karena -x < 0.

Sehingga diperoleh |x| = x = |-x|

atau dengan kata lain |x| = |-x| ✔️Terbukti.

Jadi terbukti bahwa |x| = |-x| untuk setiap bilangan real x.

Teorema 2

Untuk setiap bilangan real x dan y, berlaku

|x - y| = |y - x|

Bukti:

|x - y| = |-(x-y)|, berdasarkan teorema 1

          = |-x + y|

          = |y - x| ✔️Terbukti

Jadi, teorema 2 terbukti.

Teorema 3 

Untuk setiap bilangan real x, berlaku

|x| = √x²

Bukti: 

Jelas √x² ≥ 0 (hasil akar pasti positif).

Jika x ≥ 0, maka √x² = x.

Jika x < 0, maka  -x > 0 dan (-x)² = x² 

                  sehingga √x² = -x.

Diperoleh,

√x² = x, jika x ≥ 0

√x² = -x, jika x < 0

atau dengan kata lain

√x² = |x| ✔️Terbukti

Jadi, teorema 3 terbukti.

Teorema 4 

Untuk setiap bilangan real x, berlaku

|x|² = |x²| = x²

Bukti:

|x|² = (√x²)² ; berdasarkan teorema 3

      = (±x)²

      = x² ✔️Terbukti

|x²| = √(x²)² ; berdasarkan teorema 3

      = x² , karena x² ≥ 0 ✔️Terbukti

Jadi, terbukti |x|² = |x²| = x² untuk setiap x anggota bilangan real.

Teorema 5

Untuk setiap bilangan real x dan y, berlaku

(i) |xy|= |x|.|y|

(ii) 

Bukti:

(i) |xy| = √(xy)²

           = √x²y²

           = √x².√y² ; berdasarkan teorema 3

           = |x|.|y| ✔️Terbukti

    

    atau cara lain

    

    Terdapat 3 kemungkinan, yaitu ketika:

    a. x ≥ 0 dan y ≥ 0 

       x ≥ 0 dan y ≥ 0, maka xy ≥ 0,

       sehingga |xy| = xy (berdasarkan definisi mutlak).

       Karena x ≥ 0 dan y ≥ 0 , maka |x| = x dan |y| = y,

       sehingga |x|.|y| = xy.

       Diperoleh |xy| = xy = |x|.|y| ✔️Terbukti

    b. x ≥ 0 dan y < 0

        x ≥ 0 dan y < 0, maka xy ≤ 0,

        sehingga |xy| = -xy (berdasarkan definisi mutlak).

        Karena x ≥ 0 dan y < 0 , maka |x| = x dan |y| = -y,

        sehingga |x|.|y| = -xy.

        Diperoleh |xy| = -xy = |x|.|y| ✔️Terbukti

    c. x < 0 dan y < 0

        x < 0 dan y < 0, maka xy > 0,

        sehingga |xy| = xy (berdasarkan definisi mutlak).

        Karena x < 0 dan y < 0 , maka |x| = -x dan |y| = -y,

        sehingga |x|.|y| = (-x)(-y) = xy.

        Diperoleh |xy| = xy = |x|.|y| ✔️Terbukti

(ii) 

     

    

     

    

        atau cara lain

       

        

Jadi, Teorema 5 terbukti.

Teorema 6

Untuk setiap bilangan real x dan y, berlaku

|x| = |y| jika dan hanya jika x = ±y 

Bukti:

Akan dibuktikan |x| = |y| ⇒ x = ±y

|x| = |y| ⇔ √x² = √y²

            ⇔ x² = y²

            ⇔ x = ±√y²

            ⇔ x = ±y ✔️Terbukti

Akan dibuktikan x = ±y ⇒ |x| = |y|

x = ±y ⇔ x² = y²

            ⇔ √x² = √y²

            ⇔ |x| = |y| ✔️Terbukti

Jadi, teorema 6 terbukti.

Teorema 7

Untuk setiap bilangan real x, berlaku 

x ≤ |x|

Bukti:

Jika x ≥ 0, maka x = |x| (definisi nilai mutlak).

|x| ≥ 0 (nilai mutlak pasti positif).

Jika x < 0, maka x < |x|.

Sehingga diperoleh x ≤ |x| ✔️Terbukti

Jadi, teorema 7 terbukti.

Teorema 8

Jika a ≥ 0 dan a, x bilangan real, maka:

(i) |x| ≤ a jika dan hanya jika -a ≤ x ≤ a

(ii) |x| ≥ a jika dan hanya jika x ≤ -a atau x ≥ a

Bukti: 

(i) Akan dibuktikan |x| ≤ a ⇒ -a ≤ x ≤ a

    Diketahui |x| ≤ a.

    Untuk x ≥ 0, |x| = x (definisi nilai mutlak)

                         maka x ≤ a,

                         sehingga diperoleh 0 ≤ x ≤ a...(1)

    Untuk x < 0, |x| = -x (definisi mutlak)

                         maka -x ≤ a atau x ≥ -a

                         sehingga diperoleh -a ≤ x < 0...(2)

    Gabungan (1) dan (2) adalah -a ≤ x ≤ a ✔️Terbukti

    Akan dibuktikan -a ≤ x ≤ a ⇒ |x| ≤ a

    Diketahui -a ≤ x ≤ a, berarti -a ≤ x dan x ≤ a.

    -a ≤ x ⇔ -x ≤ a.

    Diperoleh -x ≤ a dan x ≤ a, atau dengan kata lain |x| ≤ a ✔️Terbukti

(ii) Akan dibuktikan |x| ≥ a ⇒ x ≤ -a atau x ≥ a

      Diketahui |x| ≥ a dan a ≥ 0.

      Untuk x ≥ 0, |x| = x (definisi nilai mutlak)

                         maka x ≥ a.

                         x ≥ 0 ∩ x ≥ a = x ≥ a... (1)

      Untuk x < 0, |x| = -x (definisi mutlak)

                         maka -x ≥ a atau x ≤ -a.

                         x < 0 ∩ x ≤ -a = x ≤ -a...(2)

      Gabungan (1) dan (2) adalah x ≤ -a atau x ≥ a ✔️Terbukti

      Akan dibuktikan x ≤ -a atau x ≥ a ⇒ |x| ≥ a

      Diketahui x ≤ -a atau x ≥ a, dan a ≥ 0.

      Untuk x ≤ -a dan -a ≤ 0, maka x ≤ 0,

           sehingga |x| = -x (definisi nilai mutlak).

           Karena |x| = -x dan -x ≥ a, maka |x| ≥ a ✔️Terbukti

      Untuk x ≥ a dan a ≥ 0, maka x ≥ 0,

           sehingga |x| = x (definisi nilai mutlak).

           Karena |x| = x dan x ≥ a, maka |x| ≥ a ✔️Terbukti

Jadi, teorema 8 terbukti.

Teorema 9

Untuk setiap bilangan real x, y dan z, berlaku:

(i) |x + y| ≤ |x| + |y|; (ketaksamaan segitiga)

(ii) |x - y| ≤ |x| +| y|

(iii) |x - y| ≥ ||x| - |y||

(iv) |x - y | ≤ |x - z| + |z - y|

Bukti:

(i) Berdasarkan teorema 7, 

     x ≤ |x|, -x ≤ |-x|, y ≤ |y|, dan -y ≤ |-y|.

         x + y ≤ |x| + |y| dan -x + (-y) ≤ |-x| + |-y|

    ⇔(x + y) ≤ |x| + |y| dan -(x + y) ≤ |x| + |y| 

    ⇔ |x + y| ≤ |x| + |y| ✔️Terbukti

(ii) Berdasarkan teorema 9(i),

      |x + (-y)| ≤ |x| + |-y|

  ⇔|x - y|  ≤ |x| + |y| ✔️Terbukti

(iii) |x| = |(x - y) + y| ≤ |x - y| + |y| (teorema 9(i))

       sehingga diperoleh |x| ≤ |x - y| + |y|

                                 ⇔ |x| - |y| ≤ |x - y|...(1)

       |y| = |(y - x) + x| ≤ |y - x| + |x| (teorema 9(i))

       sehingga diperoleh |y| ≤ |y - x| + |x|

                                 ⇔ |y| - |x| ≤ |x - y|

                                 ⇔ |x| - |y| ≥ -|x - y|

                                 ⇔ -|x - y| ≤ |x| - |y| ...(2)

       Dari (1) dan (2), diperoleh -|x - y| ≤ |x| - |y| ≤ |x - y|

       dengan kata lain ||x| - |y|| ≤ |x -y| (teorema 8(i)),

       atau |x - y| ≥ ||x| - |y|| ✔️Terbukti

(iv) |x - y| = |(x - z) + (z - y)|

                 ≤ |x - z| + |z - y| (teorema 9(i)) ✔️Terbukti

Jadi, teorema 9 terbukti.

Teorema 10 

Jika |x| < |y|, maka  x² < y² 

Bukti:

|x| > 0 dan |y| > 0, maka |x| + |y| > 0 

Diketahui |x| < |y| maka |x| - |y| < 0 

x² - y² = |x|² - |y|² = (|x| - |y|)(|x| + |y|) 

Karena (|x| - |y|) < 0 dan (|x| + |y|) > 0 [negatif dikalikan positif hasilnya negatif], maka (|x| - |y|)(|x| + |y|) < 0.

Sehingga x² - y² < 0 

           ⇔       x² < y² ✔️Terbukti

Jadi, teorema 10 terbukti.

Begitulah kira-kira pembuktian beberapa teorema nilai mutlak. Masih banyak teorema-teorema nilai mutlak lainnya. Silahkan coba buktikan sendiri yaa.

Jangan lupa komen apabila ada yang keliru.

Selamat belajar~

Salam ngemeal 🍲