Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel Kelas 10

Sama halnya dengan persamaan, dalam soal pertidaksamaan biasanya kita harus mencari penyelesaiannya, yaitu berupa nilai dari variabel yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Lalu apa bedanya kesamaan, persamaan, ketaksamaan dan pertidaksamaan? 

Kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan "sama dengan" dan berlaku untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Dimana kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah jelas nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah. Dalam kesamaan, nilai kebenarannya selalu benar. Terkadang kesamaan menggunakan lambang "≡". 

Contoh: 5+2 = 3+4 atau (4x - 1)² = 16x² - 8x + 1 (bisa ditulis (4x - 1)² ≡ 16x² - 8x + 1).

Yang bukan termasuk kesamaan adalah 6 + 2 =10, karena 6 + 2 ≠ 10 (nilai kebenarannya adalah salah).

Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan "sama dengan". Dimana kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya. Biasanya, kalimat terbuka memuat variabel. Jika variabel diganti dengan bilangan tertentu, kalimat terbuka akan menjadi pernyataan bernilai benar atau salah. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar. 

Contoh: x + 3 = 5 atau (4x - 1)² = 0.

Ketaksamaan atau ketidaksamaan adalah kalimat matematika tertutup yang memuat ungkapan "tidak sama dengan" (≠), "lebih dari" (>), "lebih dari atau sama dengan" (≥), "kurang dari" (<), "kurang dari atau sama dengan" (≤). Nilai kebenaran dari ketaksamaan selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya.

Contoh: 1 + 3 < 5 atau |a + b| ≤ |a| + |b| (ketaksamaan segitiga).

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan "tidak sama dengan" (≠), "lebih dari" (>), "lebih dari atau sama dengan" (≥), "kurang dari" (<), "kurang dari atau sama dengan" (≤). 

Contoh: x + 5 >10 atau 16x² - 8x + 1 > 0.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sebelumnya, dalam artikel persamaan nilai mutlak linear satu variabel , definisi nilai mutlak adalah sebagai berikut.

Misalkan x adalah bilangan real. |x| dibaca nilai mutlak dari x dan didefinisikan:

        

atau bisa juga ditulis:

|x|= x, x ≥ 0 (apabila x nya positif atau nol),

|x|= -x, x < 0 (apabila x nya negatif) 

Ilustrasi Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari x adalah jarak dari nol ke x pada garis bilangan real. Pada persamaan nilai mutlak, |x| = a berarti kita diminta untuk menentukan semua bilangan x yang berjarak a dari titik nol. Untuk |x - b| = a, berarti kita diminta untuk menentukan semua bilangan x yang berjarak a dari titik b. Dan untuk |x + b| = a meminta kita untuk menentukan semua bilangan x yang berjarak a dari titik -b. Bagaimana dengan pertidaksamaan nilai mutlak?

|x| < a, dengan a, x ∈ bilangan real dan a>0

|x| < a, artinya jarak dari nol ke x kurang dari a. Atau bisa dibilang bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x| < a adalah semua bilangan x yang berjarak kurang dari a dari titik nol. Perhatikan ilustrasi berikut. 

Nilai x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik di antara -a dan a, atau yang bisa kita tulis -a < x < a.

Misalnya, |x| < 5, artinya mencari bilangan-bilangan yang berjarak kurang dari 5 dari angka 0.

Himpunan penyelesaian dari |x| < 5 adalah {-5 < x < 5}

Contoh 1

1. |4x| < 20

    Jawab : |4x| < 20 ⇔ -20 < 4x < 20

                                ⇔ -5 < x < 5 

    Jadi, HP = {x| -5 < x < 5}

2. 3|x -1| < 9

    Jawab : 3|x -1| < 9 ⇔ |x -1| < 9/3

                                  ⇔ |x -1| < 3

                                  ⇔ -3 < (x - 1) < 3

                                  ⇔ -3 + 1 < (x - 1) + 1 < 3 +1

                                  ⇔ -2 < x < 4

     Jadi, HP = {x| -2 < x < 4}

|x| > a, dengan a, x ∈ bilangan real dan a ≥ 0

|x| > a, artinya jarak dari nol ke x lebih dari a. Atau bisa dibilang bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x| > a adalah semua bilangan x yang berjarak lebih dari a dari titik nol. Perhatikan ilustrasi berikut. 

Nilai x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik kurang dari -a atau lebih dari a, atau yang bisa kita tulis x < -a  atau x > a.

Misalnya, |x| > 5, artinya mencari bilangan-bilangan yang berjarak lebih dari 5 dari angka 0.

Himpunan penyelesaian dari |x| < 5 adalah {x < -5 atau x > 5}.

Contoh 2

1. |4x| > 20

    Jawab : |4x| > 20 ⇔ 4x < -20 atau 4x > 20

                                ⇔ x < -5 atau x > 5

    Jadi, HP = {x| x < -5 atau x > 5}

2. 3|x -1| > 9

    Jawab : 3|x -1| > 9 ⇔ |x -1| > 9/3

                                  ⇔ |x -1| > 3

                                  ⇔ (x -1) < -3 atau (x -1) > 3

                                  ⇔ x < -2 atau x > 4

    Jadi, HP = {x| x < -2 atau x > 4}

Untuk |x| ≤ a, dengan a, x adalah bilangan real dan a ≥ 0, sama seperti |x| < a, hanya saja -a dan a termasuk ke dalam himpunan penyelesaiannya, atau dapat ditulis -a ≤ x ≤ a.

Contoh 3

1. |4x| ≤ 20

    Jawab : |4x| ≤ 20 ⇔ -20 ≤ 4x ≤ 20

                                ⇔ -5 ≤ x ≤ 5 

    Jadi, HP = {x| -5 ≤ x ≤ 5}

2. 3|x -1| ≤ 9

    Jawab : 3|x -1| ≤ 9 ⇔ |x -1| ≤ 9/3

                                  ⇔ |x -1| ≤ 3

                                  ⇔ -3 ≤ (x - 1) ≤ 3

                                  ⇔ -3 + 1 ≤ (x - 1) + 1 ≤ 3 +1

                                  ⇔ -2 ≤ x ≤ 4

    Jadi, HP = {x| -2 ≤ x ≤ 4}

Untuk |x| ≥ a, dengan a, x adalah bilangan real dan a ≥ 0, sama seperti |x| > a, hanya saja -a dan a termasuk ke dalam himpunan penyelesaiannya, atau dapat ditulis x ≤ -a atau x ≥ a.

Contoh 4

1. |4x| ≥ 20

    Jawab : |4x| ≥ 20 ⇔ 4x ≤ -20 atau 4x ≥ 20

                                ⇔ x ≤ -5 atau x ≥ 5

    Jadi, HP = {x| x ≤ -5 atau x ≥ 5}

2. 3|x -1| ≥ 9

    Jawab : 3|x -1| ≥ 9 ⇔ |x -1| ≥ 9/3

                                  ⇔ |x -1| ≥ 3

                                  ⇔ (x -1) ≤ -3 atau (x -1) ≥ 3

                                  ⇔ x ≤ -2 atau x ≥ 4

    Jadi, HP = {x| x ≤ -2 atau x ≥ 4}

Sifat-sifat Nilai Mutlak (Pertidaksamaan)

Dari penjelasan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa:

Terdapat pula sifat-sifat lain dari pertidaksamaan nilai mutlak, yaitu sebagai berikut.

Pembuktian sifat-sifat nilai mutlak bisa dilihat di sini.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak tidak berbeda dengan persamaan nilai mutlak. Bisa menggunakan definisi nilai mutlak atau garis bilangan atau mengkuadratkan kedua ruas. Bahkan di pertidaksaman nilai mutlak, kita bisa menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak. Agar lebih jelas, berikut contoh soal dari pertidaksamaan nilai mutlak.

Contoh 5

|4x| > 12

Pembahasan:

Cara I: (menggunakan definisi)

            Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:

            

            atau dapat diartikan:

            |4x| = 4x, jika x ≥ 0

            |4x| = -4x, jika x < 0

            Untuk x ≥ 0,

            |4x| > 12 ⇔ 4x > 12

                           ⇔   x > 3

            Irisan dari x ≥ 0 dan x > 3 adalah x > 3.

            

            Untuk x < 0,

            |4x| > 12 ⇔ -4x > 12

                                       ⇔   x < -3

            Irisan dari x < 0 dan x < -3 adalah x < -3.

        

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari x>3 dan x<-3, yaitu {x| x<-3 atau x>3}.

Cara II: (mengkuadratkan kedua ruas)

             |4x| > 12 ⇔                       |4x|² > 12² 

                            ⇔                      (4x)² > 144

                            ⇔                      16x² > 144

                            ⇔             16x² - 144 > 0

                            ⇔ (4x - 12)(4x + 12) > 0

              Pembuat nol dari (4x - 12)(4x + 12) adalah

              4x - 12 = 0 ⇔ x = 3

              atau

              4x + 12 = 0 ⇔ x = -3

              

              (4x - 12)(4x + 12) bernilai positif,

              karena (4x - 12)(4x + 12) > 0,

              sehingga HP adalah {x| x < -3 atau x > 3}.

Cara III: (menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak) 

               (|x| > a ⇔ x < -a atau x > a)

               |4x| > 12 ⇔ 4x < -12 atau 4x > 12

                              ⇔ 4x/4 < -12/4 atau 4x/4 > 12/4

                              ⇔ x < -3 atau x > 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x| x < -3 atau x > 3}.

Contoh 6

|3 - 2x| < 4 (sumber: Buku Matematika SMA Kelas X Revisi 2017)

Pembahasan

Cara I: (menggunakan definisi)

            Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:

                   

            atau dapat diartikan:

            |3 - 2x| = 3 - 2x, jika x ≤ 3/2

            |3 - 2x| = -(3 - 2x), jika x > 3/2

                    

            Untuk x ≤ 3/2,

            |3 - 2x| < 4 ⇔ 3 - 2x < 4

                              ⇔    - 2x < 1

                              ⇔        x > -1/2 

            

        Irisan dari x≤3/2 dan x>-1/2 adalah -1/2<x≤ 3/2.

            Untuk x > 3/2,

            |3 - 2x| < 4 ⇔ -(3 - 2x) < 4

                              ⇔   -3 + 2x < 4

                              ⇔           2x < 7

                              ⇔             x < 7/2 

             

        Irisan dari x>3/2 dan x<7/2 adalah 3/2<x< 7/2.

Jadi, HPnya adalah gabungan dari -1/2<x≤3/2 dan 3/2<x<7/2, yaitu {x|-1/2<x<7/2}.

Cara II: (mengkuadratkan kedua ruas)

             |3 - 2x| < 4 ⇔          |3 - 2x|² < 4² 

                               ⇔         (3 - 2x)² < 16

                               ⇔ 9 - 12x + 4x² < 16

                               ⇔    4x² -12x -7 < 0

                               ⇔ (2x - 7)(2x + 1) < 0

             Pembuat nol dari (2x - 7)(2x + 1) adalah

             2x - 7 = 0 ⇔ x = 7/2

             atau

             2x + 1 = 0 ⇔ x = -1/2

             

             (2x - 7)(2x + 1) bernilai negatif,

             karena (2x - 7)(2x + 1) < 0,

             sehingga HP adalah {x | -1/2 < x < 7/2}.

Cara III: (menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak (|x|<a ⇔ -a < x < a)

               |3 - 2x| < 4 ⇔ -4 < 3 - 2x < 4 

                                 ⇔-4- 3 < 3 - 2x - 3 < 4 - 3

                                 ⇔ -7 < -2x < 1

                                 ⇔ -7/-2 > -2x/-2 > 1/-2

                                 ⇔7/2 > x > -1/2

                                 ⇔ -1/2 < x < 7/2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | -1/2 < x < 7/2}.

Contoh 7

|x + 5| ≤ |1 - 9x|  (sumber: Buku Matematika SMA Kelas X Revisi 2017)

Pembahasan:

Cara I: (menggunakan definisi)

            Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:

                    

            Jika interval-interval tersebut digambarkan pada garis bilangan, 

            akan diperoleh:

            

                    

            Untuk x < -5,

            |x + 5| ≤ |1 - 9x| ⇔ -(x +5) ≤ 1 - 9x

                                      ⇔    -x - 5 ≤ 1 - 9x

                                      ⇔         8x ≤ 6

                                      ⇔           x ≤ 6/8

                                      ⇔           x ≤ 3/4

        Irisan dari x ≤ 3/4 dan x < -5 adalah x < -5

            Untuk -5 ≤ x ≤ 1/9,

            |x + 5| ≤ |1 - 9x| ⇔ x + 5 ≤ 1 - 9x

                                      ⇔    10x ≤ -4

                                      ⇔        x ≤ -4/10

                                      ⇔        x ≤ - 2/5

        Irisan dari -5≤x≤1/9 dan x≤-2/5 adalah -5≤x≤-2/5

            Untuk x > 1/9,

            |x + 5| ≤ |1 - 9x| ⇔ x + 5 ≤ -(1 - 9x)

                                      ⇔ x + 5 ≤ -1 + 9x

                                      ⇔    -8x ≤ -6

                                      ⇔       x ≥ 6/8

                                      ⇔       x ≥ 3/4

        Irisan dari x > 1/9 dan x ≥ 3/4 adalah x ≥ 3/4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari x < -5, -5 ≤ x ≤ -2/5, dan x ≥ 3/4, yaitu {x| x ≤ -2/5 atau x ≥ 3/4}.

Cara II: (mengkuadratkan kedua ruas)

|x + 5| ≤ |1 - 9x| ⇔ |x + 5|² ≤ |1 - 9x|² 

                          ⇔ (x + 5)² ≤ (1 - 9x)² 

                          ⇔ x²  + 10x + 25 < 1 - 18x +81x² 

                          ⇔  -80x²  + 28x + 24 < 0

                          ⇔ (-80x²  + 28x + 24)/-4 > 0/-4

                          ⇔  20x²  - 7x - 6 > 0

                          ⇔  (5x + 2)(4x - 3) > 0

Pembuat nol dari (5x + 2)(4x - 3) adalah

5x + 2 = 0 ⇔ x = -2/5

atau

4x - 3 = 0 ⇔ x = 3/4

(5x + 2)(4x - 3) bernilai positif, karena (5x + 2)(4x - 3) > 0, sehingga HP adalah {x | x ≤ -2/5 atau x ≥ 3/4}.

---------------------------------------------------------------------------------------------

Nah, sekarang kita coba latihan, yuk!

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.

1. |2x - 4| < 0

2. 5|3x - 8| - 10 > 0

3. |4x - 3| > -|-x|

4. |x + 3| ≤ x - 2

5. |9 - 2x| ≥ |4x|

6. 

    

7. 

    

8. 

    

9. 4 < |2x -3| < 7

10. |x| + |x + 1| > 2

Gunakan cara yang menurut kalian mudah. Pembahasannya klik disini.

Selamat belajar~

Salam ngemeal 🍲