Persamaan Kuadrat (Part I): Definisi, Metode Mencari Akar, Jenis Akar, Sifat Akar, dan Operasi Akar

Haay semua. Udah lama saya ga posting xixixi (ketawanya bapa-bapa di fb). Kali ini materi yang akan dibahas mengenai persamaan kuadrat. Kayaknya kalian udah hafal mengenai persamaan. Yap, benar, persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan "sama dengan". Dimana kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya. Biasanya, kalimat terbuka memuat variabel. Jika variabel diganti dengan bilangan tertentu, kalimat terbuka akan menjadi pernyataan bernilai benar atau salah. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar. 

Contoh: x + 3 = 5 atau (4x - 1)² = 0.

Definisi Persamaan Kuadrat

Nah, Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat: 

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

dengan a sebagai koefisien dari x²
            b sebagai koefisien dari x
            x sebagai variabel
            c sebagai konstanta

Contoh:

⏵x² - 2x + 1 = 0, merupakan persamaan kuadrat, karena memiliki variabel (x) dengan pangkat tertingginya adalah dua.

⏵2s² + 6s = -3, merupakan persamaan kuadrat, karena memiliki variabel (s) dengan pangkat tertingginya adalah dua.

⏵(4x - 1)² = 0, merupakan persamaan kuadrat karena memiliki variabel (x) dengan pangkat tertingginya adalah dua ((4x - 1)² = 16x² - 8x +1).

⏵2/x² = x + 1, bukan merupakan persamaan kuadrat, karena pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu (2/x² = 2 x-2).

⏵✓x² + 5x -14 = 0 bukan merupakan persamaan kuadrat, karena pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu (✓x² = x) 

Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada persamaan sehingga persamaan bernilai benar, atau biasa disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat. 

Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat

Terdapat tiga metode yang dapat digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut.

Pemfaktoran/Faktorisasi

Dari namanya saja sudah jelas, kita harus memfaktorkan persamaan kuadratnya. Tidak semua persamaan kuadrat dapat difaktorkan. Persamaan kuadrat dapat difaktorkan apabila diskriminan (D) dari persamaannya dapat diakarkan.

Contoh

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut ini dengan metode pemfaktoran.

a). x² - 5x - 14 = 0

b). 4t² - 16t = -15

c). 3x² - 9x = 0

d). 9x² - 4 = 0

Pembahasan

a). x² - 5x - 14 = 0 ⇔ (x - 7)(x + 2) = 0 

                              ⇔ (x - 7) = 0 atau (x + 2) = 0

                              ⇔ x = 7 atau x = -2

    Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah -2 atau 7.

 b). 4t² - 16t = -15 ⇔ 4t² - 16t + 15 = 0

                              ⇔ (2t - 5)(2t - 3)= 0

                              ⇔ (2t - 5) = 0 atau (2t - 3) = 0

                              ⇔ t = 5/2 atau t = 3/2

    Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah 3/2 atau 5/2.

c). 3x² - 9x = 0 ⇔ x (3x - 9) = 0

                         ⇔ x = 0 atau (3x - 9) = 0

                         ⇔ x = 0 atau x = 3

     Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah 0 atau 3.   

d). 9x² - 4 = 0 ⇔ (3x - 2)(3x + 2) = 0

                       ⇔ (3x - 2) = 0 atau (3x + 2) = 0

                       ⇔ x = 2/3 atau x = -2/3

    Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah -2/3 atau 2/3.

Melengkapi Kuadrat Sempurna

Metode ini dilakukan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Apabila yang termasuk bilangan kuadrat sempurna adalah 1, 4, 9, 16, 25, 36, dst;  bentuk kuadrat sempurna adalah (px + q)² = p²x² + 2pqx + q². Jadi kita mengubah ax² + bx + c = 0 menjadi (px + q)² = 0. Metode ini dapat digunakan apabila koefisien dari x tidak sama dengan nol.

Untuk mengubah menjadi kuadrat sempurna, ada tipsnya.

(i) Koefisien dari x² pada persamaan kuadrat adalah satu. Jika koefisien dari x² adalah a, kalikan kedua ruas dengan 1/a sehingga koefisien x² menjadi satu. Misalnya 3x² + 9x - 20 = 0, maka kedua ruas dikalikan 1/3 sehingga (3x² + 9x - 20) ｘ1/3 = 0 ｘ1/3 ⇔ x² + 3x - (20/3) = 0.

(ii) Perhatikan koefisien dari x. Jika koefisien dari x adalah b, tambahkan kedua ruas dengan (b/2)² sehingga dapat dibentuk suatu bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x + (b/2))² . Misalnya x² + 3x - (20/3) = 0, maka kedua ruas ditambah (3/2)² atau 9/4 sehingga 

x² + 3x - (20/3) + (9/4) = 0 + (9/4) ⇔ [x² + 3x + (9/4)] - (20/3) = (9/4)

                                                        ⇔         (x + (3/2))² - (20/3) = (9/4)

Tinggal dicari nilai x nya deh.

Contoh

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut ini dengan metode melengkapi kuadrat sempurna.

a). x² - 5x - 14 = 0

b). 4t² - 16t = -15

c). 3x² - 9x = 0

d). 9x² - 4 = 0

Pembahasan

a). x² - 5x - 14 = 0 ⇔               x² - 5x = 14

                              ⇔ x² - 5x + (25/4) = 14 + (25/4)

                              ⇔        (x - (5/2))² = 81/4

                              ⇔            x - (5/2) = √(81/4)

                              ⇔            x - (5/2) = ± 9/2

                              ⇔                       x = ± 9/2 + 5/2

                              ⇔ x = 9/2 + 5/2 atau x = -9/2 + 5/2

                              ⇔ x = 7 atau x = -2

    Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah -2 atau 7.

b). 4t² - 16t = -15 ⇔       t² - 4t = -15/4

                             ⇔ t² - 4t + 4 = (-15/4) + 4

                             ⇔      (t - 2)² = 1/4

                             ⇔         t - 2 = √(1/4)

                             ⇔         t - 2 = ± 1/2

                             ⇔              t = ± 1/2 + 2

                             ⇔ t = (1/2) + 2 atau t = (-1/2) + 2

                             ⇔ t = 5/2 atau t = 3/2

    Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah 3/2 atau 5/2.

c). 3x² - 9x = 0 ⇔             x² - 3x = 0

                         ⇔ x² - 3x + (9/4) = 0 + (9/4)

                         ⇔       (x - (3/2))² = (9/4)

                         ⇔           x - (3/2) = √(9/4)

                         ⇔           x - (3/2) = ± 3/2

                         ⇔                      x = ± (3/)2 + (3/2)

                         ⇔ x = (3/2) + (3/2) atau  x = -(3/2) + (3/2)

                         ⇔ x = 3 atau  x = 0

     Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah 0 atau 3.  

d). 9x² - 4 = 0 tidak bisa dijadikan kuadrat sempurna. Gunakan metode lain.

Menggunakan Rumus 

Saya menyebut metode ini dengan rumus kecap karena tidak sedikit yang menyebutnya dengan rumus ABC. Metode ini adalah metode yang paling jitu karena bisa digunakan untuk persamaan kuadrat apa pun. Misalkan terdapat persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka

Contoh

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut ini dengan menggunakan rumus abc.

a). x² - 5x - 14 = 0

b). 3x² - 9x = 0

Pembahasan

a). x² - 5x - 14 = 0 dengan a = 1, b = -5, dan c = -14.

        Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah -2 atau 7.

b). 3x² - 9x = 0 dengan a = 3, b = -9, dan c = 0.

    

        Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah 0 atau 3.

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar suatu persamaan kuadrat dapat ditentukan berdasarkan diskriminannya (D). Misalkan terdapat persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka D = b² - 4ac. Berikut jenis-jenis akar persamaan kuadrat, jika:

(i) D = 0, maka akar-akar persamaannya adalah bilangan real yang sama/kembar (x1, x2 ∈ R dan x1 = x2).

    Contoh: x² + 8x + 16 = 0 dengan a = 1, b = 8, dan c = 16

                  D = 8² - 4(1)(16) = 64 - 64 = 0 

                  maka akar-akar dari x² + 8x + 16 = 0 adalah bilangan real yang sama/kembar.

(ii) D > 0, maka akar-akar persamaannya adalah bilangan real yang berlainan (x1, x2 ∈ R dan x1 ≠ x2).

    Contoh: 4x² - 16x + 15 = 0 dengan a = 4, b = -16, dan c = 15

                  D = (-16)² - 4(4)(15) = 256 - 240 = 16 > 0 

                  maka akar-akar dari 4x² - 16x + 15 = 0 adalah bilangan real yang berlainan.

(iii)  D < 0, maka akar-akar persamaannya tidak real (bilangan kompleks).

     Contoh: 3x² + 8x + 20 = 0 dengan a = 3, b = 8, dan c = 20

                  D = (8)² - 4(3)(20) = 64 - 240 = -176 < 0 

                  maka akar-akar dari 3x² + 8x + 20 = 0 bukan bilangan real.

Jumlah dan Hasil Kali Akar

Penjumlahan dan perkalian akar-akar suatu persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat diselesaikan tanpa mencari akar-akarnya terlebih dahulu, lho. Hasil penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat diperoleh dari:

sedangkan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh dari:

Hasil pengurangan akar-akar persamaan kuadrat dengan x1 > x2 diperoleh dari:

Dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0:

(i) Penjumlahan akar akar x1 + x2 = -b/a

(ii) Hasil kali akar akar x1 . x2 = c/a

(iii) Pengurangan akar akar x1 - x2 = ±(√D)/a

Tetapi terkadang terdapat soal yang menanyakan kuadrat jumlah akar atau jumlah kuadrat dari akar atau bentuk-bentuk yang lainnya. Tenang saja gengs. Terdapat beberapa bentuk pernyataan matematika yang bisa diubah ke dalam (x1 + x2), (x1 + x2), dan (x1 . x2) dengan menggunakan sifat-sifat aljabar. Berikut beberapa perubahan bentuk pernyataan matematika ke dalam (x1 + x2), (x1 + x2), dan (x1 . x2).

(i) x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2(x1 . x2)

(ii) x1² - x2² = (x1 + x2)(x1 - x2)

(iii) x1³ + x2³ = (x1 + x2)³ - 3(x1 . x2)(x1 + x2)

(iv) (x1 - x2)² = (x1 + x2)² - 4(x1 . x2)

(v) (1/x1) + (1/x2) = (x1 + x2)/(x1 . x2)

Contoh

Diketahui suatu persamaan kuadrat 4x² - 16x + 15 = 0, tentukan:

a). x1² + x2² 

b). (x1² - x2²)²

c) (2/x1²) + (2/x2²) 

Pembahasan 

4x² - 16x + 15 = 0 dengan a = 4, b = -16, dan c = 15

x1 + x2 = -b/a = -(-16)/4 = 4

x1 . x2 = c/a = 15/4

x1 - x2 = ±(√D)/a = ±(√b² - 4ac)/a = ±(√(-16)² - 4(4)(15))/4 = ±(√16)/4 = ±4/4 = ±1

a). x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2(x1 . x2) 

                   = (4)² - 2(15/4)

                   = 16 - (15/2)

                   = 17/2

b). (x1² - x2²)² = ((x1 + x2)(x1 - x2))²

                      = (x1 + x2)² (x1 - x2)²

                      = (4)² (±1)²

                      = (16)(1)

                      = 16

c). (2/x1²) + (2/x2²) = (2x2² + 2x1²)/(x1² . x2²)

                               =  [2(x2² + x1²)]/(x1 . x2)² 

                               =  [2(17/2)]/(15/4)² 

                               =  [17]/(225/16)

                               =  272/225

Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan terdapat persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yang memiliki akar, yaitu x1 dan x2. Berikut beberapa sifat dari akar persamaan kuadrat tersebut.

(i) Jika x1 > 0 (positif) dan x2 > 0 (positif), maka:

• x1 + x2 > 0
• x1 . x2 > 0
• D ≥ 0

(ii) Jika x1 < 0 (negatif) dan x2 < 0 (negatif), maka:

• x1 + x2 < 0
• x1 . x2 > 0

(iii) Jika x1 < 0 dan x2 > 0 (atau sebaliknya), maka x1 . x2 < 0.

(iv) Jika x1 = -x2 (akar berlawanan), maka b = 0.

(v) Jika x1 = 1/x2 (akar berkebalikan), maka a = c.

---------------------------------------------------------

Selanjutnya akan dibahas mengenai pembentukkan persamaan kuadrat baru. Semoga artikel ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Apabila ada yang keliru, jangan sungkan untuk komen ya...

Selamat Belajar~

Salam Ngemeal 🍲