Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV): Definisi, Penyelesaian, Metode, dan Contoh Soal
Pada suatu hari, Dora membeli 3 buku catatan dan 4 pensil di Toko A. Total uang yang dikeluarkan Dora adalah Rp 57.000. Di sisi lain, Diego juga membeli 2 buku catatan dan 5 pensil di toko yang sama. Total uang yang dikeluarkan Diego adalah Rp 45.000. Jika Beni membeli 7 buku catatan dan satu pensil di toko itu, berapakah uang yang harus disiapkan oleh Beni? Hmmm...hmmm... Terlihat simpel tapi pusing uga. Tapi jangan khawatir dengan SPLDV masalah Beni akan bisa diselesaikan.
Apasih SPLDV itu? Biar paham, mari kita bahas satu per satu.
Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan "sama dengan". Dimana kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya. Biasanya, kalimat terbuka memuat variabel. Jika variabel diganti dengan bilangan tertentu, kalimat terbuka akan menjadi pernyataan bernilai benar atau salah. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.
Contoh: x + 3 = 5 atau (4x - 1)² = 0.
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel dengan pangkat variabelnya adalah satu.
Bentuk umum: ax + by = c
dengan a sebagai koefisien dari x
b sebagai koefisien dari y
x, y sebagai variabel
c sebagai konstanta
a, b, c ∈ bilangan real
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan linear yang memiliki dua variabel, atau simpelnya kumpulan persamaan linear dengan dua variabel. Kumpulan persamaan linear dikatakan membentuk sistem persamaan linear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap persamaan linear pada sistem tersebut.
Bentuk umum:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah bilangan real.
Himpunan Penyelesaian SPLDV
Himpunan penyelesaian SPLDV adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y) yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut. Terdapat tiga kemungkinan penyelesaian SPLDV, yaitu tidak memiliki penyelesaian, memiliki tepat satu penyelesaian, dan memiliki tak hingga penyelesaian.
Misalkan terdapat sistem persamaan linear dua variabel
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
1). Tidak memiliki penyelesaian
Jika 
. Dilihat dari grafik persamaannya, dua garis tersebut saling sejajar jika tidak memiliki penyelesaian.
. Dilihat dari grafik persamaannya, dua garis tersebut saling sejajar jika tidak memiliki penyelesaian. Contoh:
x + 2y = 1
2x + 4y = 3
Jika kedua garis tersebut berpotongan di satu titik dan titik potong tersebut adalah penyelesaiannya.
Contoh:
3x + y = -3
x + 2y = 4
Titik (-2,3) adalah penyelesaian dari SPLDV tersebut, artinya x = -2 dan y = 3.
3). Memiliki tak hingga penyelesaian
Jika 
atau kedua garis tersebut saling berhimpit.
atau kedua garis tersebut saling berhimpit. Contoh:
3x + y = -1
6x + 2y = -2
Penyelesaiannya adalah semua titik yang dilalu oleh kedua garis tersebut.
Metode Menyelesaikan SPLDV
Misalkan terdapat sistem persamaan linear dua variabel
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
SPLDV tersebut dapat diselesaikan dengan empat metode, yaitu:
1) Metode Grafik
Metode grafik dilakukan dengan cara menggambar persamaan linear dua variabelnya pada koordinat cartesius lalu tentukan titik perpotongannya. Titik perpotongan kedua garis itulah penyelesaiannya.
2). Metode Substitusi
Metode substitusi artinya mengganti nilai variabel di suatu persamaan dengan persamaan lain. Misalkan persamaan pertama pada SPLDV diubah menjadi x = (- b1y + c1) / a1. Lalu ganti variabel x pada persamaan kedua dengan (- b1y + c1) / a1 sehingga didapatkan a2 [(- b1y + c1) / a1] + b2y = c2 ⇔ y = (a1c2 - a2c1)/(a1b2 - a2b1).
3). Metode Eliminasi
Metode eliminasi artinya mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel untuk mengetahui variabel yang lain dari dua persamaan yang berbeda.
4). Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)
Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi dan substitusi. Metode ini adalah metode yang sering saya gunakan bila mencari himpunan penyelesaian SPLDV. Biasanya saya gunakan dulu metode eliminasi, lalu dilanjutkan dengan metode substitusi.
Contoh
Jika diketahui suatu sistem persamaan sebagai berikut.
3x + y = -3
x + 2y = 4
Tentukan penyelesaiannya!
Pembahasan
Metode grafik
Titik (-2,3) adalah penyelesaian dari SPLDV tersebut, maka HP = {(x,y)| (-2,3)}
Metode Substitusi
3x + y = -3 ... (i)
x + 2y = 4 ...(ii)
Dari (i) diperoleh
3x + y = -3 ⇔ y = -3x -3 ...(iii)
Substitusikan (iii) ke (ii)
x + 2y = 4 ⇒ x + 2(-3x -3) = 4
⇔ x - 6x -6 = 4
⇔ -5x = 10
⇔ x = -2 ... (iv)
Substitusikan (iv) ke (iii)
y = -3x -3 = -3(-2) -3 = 6-3 = 3
Diperoleh x = -2 dan y = 3, sehingga HP = {(x,y)| (-2,3)}
Metode Eliminasi
3x + y = -3 ... (i)
x + 2y = 4 ...(ii)
Dari (i) dan (ii), diperoleh
3x + y = -3 | x 2 | 6x + 2y = -6
x + 2y = 4 | x 1 | x + 2y = 4
----------------- -
5x = -10
x = -2 ...(iii)
Dari (ii) dan (iii) diperoleh
x + 2y = 4
x = -2
-------------- -
2y = 6
y = 3
Diperoleh x = -2 dan y = 3, sehingga HP = {(x,y)| (-2,3)}
Metode Gabungan
3x + y = -3 ... (i)
x + 2y = 4 ...(ii)
Dari (i) dan (ii), diperoleh
3x + y = -3 | x 2 | 6x + 2y = -6
x + 2y = 4 | x 1 | x + 2y = 4
----------------- -
5x = -10
x = -2 ...(iii)
Substitusikan (iii) ke (ii)
x + 2y = 4 ⇒ (-2) + 2y = 4
⇔ 2y = 6
⇔ y = 3
Diperoleh x = -2 dan y = 3, sehingga HP = {(x,y)| (-2,3)}
Sebenarnya, untuk menentukan penyelesaian suatu SPLDV, tidak perlu harus sama persis langkah kerjanya. Gunakan kreativitas kalian.
Kembali ke masalah Beni.
Pada suatu hari, Dora membeli 3 buku catatan dan 4 pensil di Toko A. Total uang yang dikeluarkan Dora adalah Rp 57.000. Di sisi lain, Diego juga membeli 2 buku catatan dan 5 pensil di toko yang sama. Total uang yang dikeluarkan Diego adalah Rp 45.000. Jika Beni membeli 7 buku catatan dan satu pensil di toko itu, berapakah uang yang harus disiapkan oleh Beni?
Langkah 1
Pertama-tama yang perlu kita lakukan adalah tulis apa saja yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal di atas.
Diketahui:
- Dora membeli 3 buku catatan dan 4 pensil dengan total harga Rp 57.000
- Diego membeli 2 buku catatan dan 5 pensil dengan total harga Rp 45.000
Langkah 2
Dari hal-hal yang diketahui dan ditanyakan, kita ubah menjadi model matematika.
Misalkan harga satu buku catatan adalah x dan harga satu pensil adalah y, maka model matematikanya
Diketahui:
3x + 4y = 57.000
2x + 5y = 45.000
Ditanyakan:
7x + y
Langkah 3
Nah, kita peroleh tuh SPLDV
3x + 4y = 57000
2x + 5y = 45000
Kemudian kita selesaikan SPLDVnya. Kali ini saya menggunakan metode gabungan.
3x + 4y = 57.000 | x 2 | 6x + 8y = 114000
2x + 5y = 45.000 | x 3 | 6x + 15y = 135000
------------------------- -
- 7y = -21000
y = 3000
2x + 5y = 45.000 ⇒ 2x + 5(3000) = 45000
⇔ 2x + 15000 = 45000
⇔ 2x = 30000
⇔ x = 15000
Diperoleh x = 15000 dan y = 3000, sehingga 7x + y = 7(15000) + (3000) = 105000 + 3000 = 108000.
Jadi uang yang harus disiapkan Beni adalah Rp 108.000
-----------------------
Tidak sulit, bukan? Perbanyak latihan soal yaa... Semoga artikel ini bermanfaat. Kalau ada yang keliru, tolong dikasih tau yaa.. biar kita sama-sama belajar.
Selamat Belajar~
Salam Ngemeal 🥘
Komentar
Posting Komentar