Vektor (Part I): Pengertian, Menentukan Komponen Vektor, Penulisan Vektor Secara Aljabar, Panjang Vektor

Kalian pasti sudah tak asing dengan nama vektor. Vektor juga kalian pelajari di fisika, bukan? Kalau di matematika, kita akan mengenal vektor jauh lebih dalam. Di fisika, kita mengenal dua macam besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Bedanya besaran skalar hanya memiliki besar (nilai), sedangkan vektor memiliki besar (nilai) dan juga arah. Contoh sederhananya adalah jarak dan perpindahan. Jarak termasuk besaran skalar dan perpindahan termasuk besaran vektor. 

Misalkan Dora berjalan ke arah timur sejauh 20 meter, kemudian berjalan ke arah barat sejauh 30 m. Jarak yang di tempuh Dora adalah 20 m + 30 m = 50 meter. Sebenarnya, jika kita lihat dari posisi awal dan posisi akhir, Dora hanya berpindah sejauh 10 m ke arah barat. Dora berjalan ke arah timur, kemudian berjalan ke arah barat yang berlawanan dengan arah timur. Arah yang berlawanan dengan arah semula bernilai negatif sehingga perpindahan yang dilakukan Dora 20 - 30 = -10 m (tanda negatif artinya arah perpindahannya ke barat dengan besar perpindahannya adalah 10 m)

Nah, sekarang kita akan mengenal lebih dalam lagi mengenai vektor. Jadi apa sih vektor itu? Biar ga penasaran, ayo kita telusuri sama-sama.

Pengertian vektor

Secara geometrik, vektor dinyatakan sebagai ruas garis berarah atau anak panah pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3. Arah anak panah menunjukkan arah vektor, dan panjang anak panah menggambarkan besarnya. Ekor anak panah disebut titik awal atau titik pangkal dari vektor, dan ujung anak panah adalah titik akhir atau titik terminal. Vektor dapat disimbolkan dengan:

(1) huruf kecil bercetak tebal (a, b, c, u, v, dkk)

(2) huruf kecil dengan panah di atasnya 

(3) ruas garis dengan panah di atasnya

      contoh:

     

     Titik A adalah titik awal vektor AB, dan B adalah titik akhir vektor AB.

     Titik Q adalah titik awal vektor QP, dan P adalah titik akhir vektor QP.

Vektor-vektor dengan ukuran dan arah yang sama disebut ekuivalen, meskipun mungkin terletak di posisi yang berbeda-beda. Jika a, b, c, dan d ekuivalen, maka a = b = c = d.

Vektor pada Bidang (R2)

Penulisan Vektor di R2

Perhatikan gambar beberapa vektor pada bidang berikut ini. 

Terdapat vektor u, v, dan w dalam sistem koordinat Cartesius. Perhatikan vektor v yang koordinat titik awalnya di titik A (3, 7) dan titik akhirnya di titik B (5,2). Vektor v dapat ditulis sebagai berikut.

Bilangan 2 dan -5 menyatakan komponen-komponen skalar dari vektor v. Komponen skalar pada vektor di R2 ada dua, yaitu komponen x dan komponen y. Pada vektor v, komponen x nya adalah 2 dan komponen y nya adalah -5. Terlihat bahwa 2 adalah selisih dari absis titik B (xB = 5) dengan absis titik A (xA = 3), sedangkan -5 adalah selisih dari ordinat titik B (yB = 2) dengan ordinat titik A (yA = 7)

Untuk vektor u yang koordinat titik awalnya di titik O (0,0) dan koordinat titik akhirnya di titik E(-4,8), dan vektor w yang koordinat titik awalnya di titik C (5,-2) dan titik akhirnya di titik D (-6, -8), dapat ditulis sebagai berikut. 

Vektor u disebut vektor posisi karena titik awalnya di titik pangkal koordinat O (0,0).

Dapat disimpulkan bahwa suatu sebarang vektor a dengan titik awal di P (x1,y1) dan titik akhir d Q (x2,y2) dapat dituliskan sebagai berikut.

Jika terdapat vektor-vektor yang ekuivalen, maka komponen-komponen pada vektor-vektor tersebut juga sama. Misalkan terdapat vektor u = (u1,u2) yang ekuivalen dengan v = (v1,v2) , maka u1 = v1 dan  u2 = v2. 

Misalkan terdapat vektor w = (-4, -5) dan vektor ST yang memiliki titik awal di S(8,8) serta titik akhir di T(4,3). Akan diperiksa apakah w dan vektor ST ekuivalen. Vektor ST = (4-8, 3-5) = (-4,-5). Karena vektor ST = (-4, -5) = w, maka w dan vektor ST ekuivalen. Berikut gambar w dan vektor ST di diagram Cartesius.

Contoh

1. Diketahui titik P(-5,4) dan vektor PQ = (2, 9). Tentukan koordinat titik Q!

Pembahasan

    vektor PQ = (q1 - p1, q2 - p2)

⇒ (2, 9) = (q1 - (-5), q2 - (4))

⇔ (2, 9) = (q1 + 5, q2 - 4)

diperoleh 2 = q1 + 5 dan 9 = q2 - 4

       2 = q1 + 5

⇔ q1 = -3

      9 = q2 - 4

⇔ q2 = 13

Jadi koordinat titik Q adalah (-3, 13)

2. Buatlah sketsa dari u = (-4, 8) dan v = (3, -5) dengan titik awal kedua vektor tersebut adalah titik O(0,0)!

Pembahasan

3. Tentukan komponen-komponen vektor dengan titik awal P1 dan titik akhir P2.

a. P1(3, -5), P2(-4,-7)

b. P1(-5, 0), P2(-3,1)

c.  P1(2, 3), P2(9, -12)

Pembahasan

a. P1(3, -5), P2(-4,-7)

    vektor P1P2 = (-4 - 3, -7 - (-5)) = (-7, -2)

b. P1(-5, 0), P2(-3,1)

    vektor P1P2 = (-3 - (-5), 1 - 0) = (2, 1)

c. P1(2, 3), P2(9, -12)

    vektor P1P2 = (-12 - 3, 9 - 2) = (-15, 7)

4. Diketahui vektor u = (2a + 3, 8b - 12) dan v = (7-b, -4). Jika u dan v ekuivalen, tentukan nilai a!

Pembahasan

Karena u dan v ekuivalen, maka u1 = v1 dan  u2 = v2.

    8b - 12 = - 4

⇔       8b = 8

⇔         b = 1

    2a + 3 = 7 - b

⇒ 2a + 3 = 7 - 1

⇔      2a = 3

⇔        a = 3/2

Panjang Vektor di R2

Panjang dari suatu vektor u seringkali disebut norm dari vektor u, disimbolkan dengan |u| atau ||u||. Untuk mencari panjang vektor u di ruang berdimensi dua, kita bisa gunakan teorema pythagoras. 

Hubungan panjang vektor dengan sudut antara vektor dan garis horizontal (sumbu x).

Contoh

Hitunglah panjang vektor w = (4,-3)!

Pembahasan

|u| = √(4² + (-3)²)

     = √(16 + 9)

     = √25

     = 5

Ruang Dimensi Tiga

Misalkan terdapat vektor v.

Titik awal vektor v adalah (0,0,0), dan titik akhir vektor v adalah (v1,v2,v3), sehingga vektor v termasuk vektor posisi. Titik akhir v adalah komponen vektor v dengan v1 adalah komponen x, v2 adalah komponen y, v3 adalah komponen z, atau bisa kita tulis 

Untuk vektor yang memiliki titik awal A (a1,a2,a3) dan titik akhir B (b1,b2,b3), komponen vektornya adalah

dengan (b1 - a1) adalah komponen x, (b2 - a2) adalah komponen y, dan (b3 - a3) adalah komponen z.

Jika terdapat vektor-vektor yang ekuivalen, maka komponen-komponen pada vektor-vektor tersebut juga sama. Misalkan terdapat vektor u = (u1,u2,u3) yang ekuivalen dengan v = (v1,v2, v3) , maka u1 = v1, u2 = v2, dan u3 = v3.

5. Diketahui titik P(-1,0,2) dan vektor PQ = (0,-1,0). Tentukan koordinat titik Q!

Pembahasan

    vektor PQ = (q1 - p1, q2 - p2, q3 - p3)

⇒ (0,-1,0) = (q1 - (-1), q2 - 0, q3 - 2)

⇔ (0,-1,0) = (q1 + 1, q2, q3 - 2)

diperoleh 0 = q1 + 1, -1 = q2, dan 0 = q3 - 2

       0 = q1 + 1

⇔ q1 = -1

      0 = q3 - 2

⇔ q3 = 2

Jadi koordinat titik Q adalah (-1, -1, 2)

6. Tentukan komponen-komponen vektor dengan titik awal P1 dan titik akhir P2.

a. P1(3, -7, 2), P2(-2, 5, -4)

b. P1(-1, 3, 5), P2(6,7,-3)

Pembahasan

a. P1(3, -7, 2), P2(-2, 5, -4)

    vektor P1P2 = (-2 - 3, 5 - (-7), -4 - 2) = (-5, 12, -6)

b. P1(-1, 3, 5), P2(6,7,-3)

    vektor P1P2 = (6 - (-1), 7 - 3, -3 - 5) = (7, 4, -8)

Untuk mencari panjang vektor di ruang berdimensi 3, tidak berbeda dengan mencari panjang vektor di ruang berdimensi 2

Contoh

Hitunglah panjang vektor u = (3, 6, -4)!

Pembahasan

|u| = √(3² + 6² + (-4)²)

     = √(9 + 36 + 16)

     = √61

Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang panjangnya 0 dan disimbolkan dengan 0 atau .

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Di ruang berdimensi dua, vektor satuan dari suatu vektor u adalah

Untuk di ruang berdimensi tiga, sama saja. Tinggal tambahkan saja komponen z nya.

Ada yang namanya vektor satuan standar. Ada juga yang menyebutnya vektor basis atau vektor basis normal atau vektor basis standar. Vektor satuan standar adalah vektor satuan yang terletak pada sumbu-sumbu koordinat. Pada dimensi dua terdapat dua vektor satuan standar, yaitu i dan j. Vektor i terletak pada sumbu x dan dituliskan i = (1,0). Vektor j terletak pada sumbu y dan dituliskan j = (0,1).

Pada dimensi tiga terdapat tiga vektor satuan standar, yaitu i, j, dan k. Vektor i terletak pada sumbu x dan dituliskan i = (1,0,0). Vektor j terletak pada sumbu y dan dituliskan j = (0,1,0). Vektor k terletak pada sumbu z dan dituliskan k = (0,0,1).

 

Vektor dapat dituliskan dalam bentuk vektor satuan standar. Misalkan terdapat u = (u1,u2) [dimensi dua] dan v = (v1,v2,v3) [dimensi tiga], maka

Contoh

s = (-7,3) = -7 i + 3 j

t = (-1, 0, 4) = - i + 4 k

w = (2,-5,6) = 2 i - 5 j + 6 k

----------------------------------------------------------------------------

Itulah pembahasan singkat mengenai vektor. Ga singkat ya :( Selanjutnya akan dibahas mengenai operasi pada vektor.

Semoga artikel ini bermanfaat yaa. Kalau ada yang membingungkan, silakan tanyakan. Apabila ada yang keliru, jangan lupa ditaruh di kolom komentar yaa...

Selamat Belajar~

Salam Ngemeal 🍲