Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Menyelesaikan persamaan nilai mutlak linear satu variabel sebenarnya tidaklah sulit jika kita mengerti konsep dari nilai mutlak itu sendiri. Jadi sebelum mengerjakan soal, kalian bisa baca dulu ► materi persamaan nilai mutlak linear satu variabel .

Intinya, menyelesaikan suatu persamaan artinya mencari nilai variabel yang belum diketahui agar persamaan bernilai benar. Misalnya, |a| = 9. Berarti untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita harus mencari nilai a yang memenuhi |a| = 9, yaitu -9 atau 9.

Terdapat 3 cara yang bisa kalian gunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan nilai mutlak linear satu variabel. Menggunakan garis bilangan, definisi, maupun sifat dari nilai mutlak. Tetapi setiap cara memiliki kekurangannya masing-masing.

a. menggunakan garis bilangan

Cara ini bisa digunakan apabila persamaannya simpel. Misalnya, |x| = 8, atau |x + 7| = 10. Tetapi kalau menurut saya sih mending pakai cara lain aja biar cepet hehe.

b. menggunakan definisi nilai mutlak

Cara yang paling dapat diandalkan dalam menyelesaikan persamaan nilai mutlak. 

Definisi Nilai Mutlak: 

Misalkan x adalah bilangan real. |x| dibaca nilai mutlak dari x dan didefinisikan 

             atau bisa juga ditulis:

             |x|= x, x ≥ 0 (apabila x nya positif atau nol),

             |x|= -x, x < 0 (apabila x nya negatif) 

c. mengkuadratkan kedua ruas persamaan

Cara lain yang dapat digunakan apabila lupa dengan definisi nilai mutlak hihi. Tetapi kadang agak ribet untuk mengkuadratkan kedua ruas bila persamaannya juga ribet. Misalnya:

 |x -1| + |2x| + |3x + 1| = 6 jadi  (|x -1| + |2x| + |3x + 1|)² = 6².

Hmmm. Liatnya saja sudah pusing. Tapi sebaiknya dicek terlebih dahulu jawabannya. Terkadang dapat jawaban yang tidak termasuk himpunan penyelesaian. Jadi lebih baik hindari cara ini apabila sering lupa untuk mengecek jawaban.

Cara yang paling saya sarankan adalah menggunakan definisi nilai mutlak. Akan tetapi, apabila kalian memiliki cara lain yang lebih efektif dan efisien, gunakan itu saja 😉

Setelah mendapatkan penyelesaian persamaan nilai mutlak, jangan lupa di cek kembali jawabannya!!! Karena terkadang penyelesaian yang kita dapat, ada yang tidak memenuhi persamaannya.

Nah, sekarang coba kerjaan soal-soal berikut ini.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut ini.

1. 2|x| = 1200
2. |2x - 1| = -8
3. |4x - 2| = 0 
4. 3 |5x + 3| + 7 = 13
5. |3x + 1| = 4x - 1
6. |2x -1| = |x +3|
7. |x -1| + |2x| + |3x + 1| = 6
8. 
9. 
10. 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pembahasan:

1. 

   

 Dengan definisi nilai mutlak, diperoleh x = -600 atau x = 600. 

   Jadi HP = {-600, 600}.

2. |2x - 1| = -8 tidak memiliki penyelesaian, karena hasil mutlak tidak ada yang negatif. Ingat | a | ≥ 0 (nilai mutlak selalu positif atau nol).

3. |4x - 2| = 0

Nilai mutlak yang hasilnya 0 adalah 0 (|0| = 0). Berarti 4x - 2 = 0.

Jadi, HP = {1/2}.

4. 3 |5x + 3| + 7 = 13

    Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:

    

    atau dapat diartikan 

    |5x + 3| = 5x + 3, jika x ≥ -3/5

    |5x + 3| = -(5x + 3), jika x < -3/5

    Untuk x ≥ -3/5

    |5x + 3| = 2  ⇔ 5x + 3 = 2

                        ⇔      5x = -1

                        ⇔        x = -1/5

    Karena x ≥ -3/5, maka x = -1/5 memenuhi.

    Untuk x < -3/5

    |5x + 3| = 2  ⇔ -(5x + 3) = 2

                        ⇔     5x + 3 = -2

                        ⇔           5x = -5

                        ⇔             x = -1

    Karena x < -3/5, maka x = -1 memenuhi.

   Jadi, HP = {-1, -1/5}.

5. |3x + 1| = 4x - 1

    Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:

   

    atau dapat diartikan 

    |3x + 1| = 3x + 1, jika x ≥ -1/3

    |3x + 1| = -(3x + 1), jika x < -1/3

    Untuk x ≥ -1/3

    |3x + 1| = 4x - 1  ⇔ 3x + 1 = 4x - 1

                               ⇔ 3x - 4x = -1 - 1

                               ⇔         -x = -2

                               ⇔          x = 2

    Karena x ≥ -1/3, maka x = 2 memenuhi.

    Untuk x < -1/3

    |3x + 1| = 4x - 1  ⇔ -(3x + 1) = 4x - 1

                               ⇔     -3x - 1 = 4x - 1

                               ⇔   -3x - 4x = 1 - 1

                               ⇔           -7x = 0

                               ⇔              x = 0

    Karena x < -1/3, maka x = 0 tidak memenuhi.

    Jadi, HP = {2}.

    -Alternatif-

    |3x + 1| = 4x - 1 ⇒         |3x + 1|² = (4x - 1)²

                              ⇔       (3x + 1)² = (4x - 1)²

                              ⇔ 9x² + 6x + 1 = 16x² - 8x + 1

                              ⇔   -7x² + 14x  = 0

                              ⇔     -7x (x - 2) = 0

                               ⇒ -7x = 0 atau x - 2 = 0

                              ⇔  x = 0 atau x = 2

    

    Cek dulu jangan lupa!

    Untuk x = 0,  |3(0) + 1| = 4(0) - 1

                     ⇔      |0 + 1| = 0 - 1

                     ⇔            |1| = -1  

                     ⇔              1 = -1  ❌, 

                    maka x = 0 tidak memenuhi.

    Untuk x = 2,  |3(2) + 1| = 4(2) - 1

                     ⇔      |6 + 1| = 8 - 1

                     ⇔            |7| = 7 

                     ⇔              7 = 7  ✔️, 

                    maka x = 2 memenuhi.

     Jadi, HP = {2}.

6. |2x -1| = |x +3|

    Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:

    

Yang dilingkari merupakan interval-interval untuk |2x -1| = |x +3|. Jika interval-interval tersebut digambarkan pada garis bilangan, akan diperoleh:

    

    Untuk x < -3,

    |2x -1| = |x +3| ⇔ -(2x - 1) = -(x + 3)

                            ⇔   -2x + 1 = -x - 3

                            ⇔   -2x + x = -1 - 3

                            ⇔           -x = -4

                            ⇔            x = 4

    Karena x<-3, maka x = 4 tidak memenuhi.

    Untuk -3 ≤ x < 1/2,

    |2x -1| = |x +3| ⇔ -(2x - 1) = x + 3

                            ⇔   -2x + 1 = x + 3

                            ⇔    -2x - x = -1 + 3

                            ⇔         -3x = 2

                            ⇔            x = -2/3

    Karena -3 ≤ x < 1/2, maka x = -2/3 memenuhi.

    Untuk x ≥ 1/2,

    |2x -1| = |x +3| ⇔ 2x - 1 = x + 3

                            ⇔ 2x - x = 1 + 3

                            ⇔        x = 4

    Karena x ≥ 1/2, maka x =4 memenuhi.

    

    Jadi, HP = {-2/3, 4}.

    -Alternatif-

    |2x -1| = |x +3| ⇒            |2x - 1|² = |x + 3|²

                           ⇔           (2x - 1)² = (x + 3)²

                           ⇔     4x² - 4x + 1 = x² + 6x + 9

                           ⇔    3x² - 10x - 8 = 0

                           ⇔ (3x + 2)(x - 4) = 0

                            ⇒ 3x + 2 = 0 atau x - 4 = 0

                           ⇔  x = -2/3 atau x = 4 

    

    Cek dulu jangan lupa!

    Untuk x = -2/3,   |2(-2/3) -1| = |(-2/3) +3|

                           ⇔    |-4/3 - 1| = |7/3|

                           ⇔         |-7/3| = |7/3|

                           ⇔            7/3 = 7/3 ✔️, 

                            maka x = -2/3 memenuhi.

    Untuk x = 4,  |2(4) -1| = |(4) +3|

                      ⇔    |8 - 1| = |7|

                      ⇔         |7| = |7| ✔️, 

                        maka x = 4 memenuhi.

      

     Jadi, HP = {-2/3, 4}. 

7. |x -1| + |2x| + |3x + 1| = 6

    Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:

    

    Jika interval-interval tersebut digambarkan pada garis bilangan, akan diperoleh:

    

    

     Untuk x < -1/3,

    |x -1|+|2x|+|3x + 1|=6⇔-(x-1)-2x-(3x+1)=6 

                                      ⇔-x + 1 - 2x - 3x - 1 = 6 

                                      ⇔                        -6x = 6 

                                      ⇔                           x = -1 

    Karena x<-1/3, maka x = -1 memenuhi.

    Untuk -1/3 ≤ x < 0,

    |x-1|+|2x|+|3x+1|=6 ⇔ -(x -1) - 2x + (3x + 1) = 6 

                                    ⇔     -x + 1 - 2x + 3x + 1 = 6 

                                    ⇔                                  2 = 6 ❌

    Tidak ada x yang memenuhi pada interval -1/3≤x<0.

    Untuk 0 ≤ x < 1,

    |x-1|+|2x|+|3x+1|=6 ⇔ -(x -1) + 2x + (3x + 1) = 6 

                                    ⇔   -x + 1 + 2x + 3x + 1 = 6 

                                    ⇔                       4x + 2 = 6 

                                    ⇔                             4x = 4

                                    ⇔                               x = 1

    Karena 0 ≤ x < 1, maka x = 1 tidak memenuhi.

    Untuk x ≥ 1,

    |x -1|+|2x|+|3x + 1|=6 ⇔ x -1 + 2x + 3x + 1 = 6 

                                       ⇔                          6x = 6 

                                       ⇔                            x = 1

    Karena x ≥ 1, maka x = 1 memenuhi.

    

    Jadi, HP = {-1, 1}.

8. 

       

    Persamaan nilai mutlak tersebut tidak memiliki penyelesaian.

    Alasan 1:

        

    Alasan 2:

|3x - 8| bernilai positif atau nol, dan |x + 4| juga bernilai positif (karena mutlak). Bilangan positif dibagi oleh bilangan positif akan menghasilkan bilangan positif. Sehingga hasilnya tak mungkin negatif.

9. 

    

    Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:

    

    atau dapat diartikan 

    |3x - 8| = 3x - 8, jika x ≥ 8/3

    |3x - 8| = -(3x - 8), jika x < 8/3

    Untuk x ≥ 8/3

    |3x - 8| = -2x - 8  ⇔ 3x - 8 = -2x - 8

                                ⇔      5x = 0

                                ⇔        x = 0

    Karena x ≥ 8/3, maka x = 0 tidak memenuhi.

    Untuk x < 8/3

    |3x - 8| = -2x - 8  ⇔ -(3x - 8) = -2x - 8

                                ⇔   -3x + 8 = -2x - 8

                                ⇔           -x = -16

                                ⇔            x = 16

    Karena x < 8/3, maka x = 16 tidak memenuhi.

   Jadi, HP = { } atau tidak memiliki penyelesaian.

10.

    

     Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:

    

    atau dapat diartikan 

    |x + 4| = x + 4, jika x ≥ -4

    |x + 4| = -(x + 4), jika x < -4

    Untuk x ≥ -4

    3x - 8 = -2(x + 4)  ⇔ 3x - 8 = -2x - 8

                                  ⇔      5x = 0

                                  ⇔        x = 0

    Karena x ≥ -4, maka x = 0 memenuhi.

    Untuk x < 4

    |3x - 8| = -2(-(x + 4))  ⇔ 3x - 8 = -2(-x - 4)

                                        ⇔ 3x - 8 = 2x + 8

                                        ⇔        x = 16

    Karena x < 4, maka x = 16 tidak memenuhi.

   Jadi, HP = {0}.

   -Alternatif-

    3x - 8= -2 |x + 4| ⇒         (3x - 8)² = (-2 |x + 4|)²

                              ⇔          (3x - 8)² = (-2)² |x + 4|²

                              ⇔         (3x - 8)² = 4 (x + 4)²

                              ⇔ 9x² -48x + 64 = 4 (x² + 8x + 16)

                              ⇔ 9x² -48x + 64 = 4x² + 32x + 64

                              ⇔       5x² - 80x  = 0

                              ⇔      5x (x - 16) = 0

                               ⇒ 5x = 0 atau x - 16 = 0

                              ⇔  x = 0 atau x = 16

    

    Cek dulu jangan lupa!

    Untuk x = 0,  3(0) - 8= -2 |(0) + 4|

                     ⇔      0 - 8 = -2 |4|

                     ⇔          -8 = -2 (4)  

                     ⇔          -8 = -8  ✔️, 

                    maka x = 0 memenuhi.

    Untuk x = 16,  3(16) - 8 = -2 |(16) + 4|

                     ⇔        48 - 8 = -2 |20|

                     ⇔        48 - 8 = -2 (20)

                     ⇔             40 = -40 ❌, 

                    maka x = 16 tidak memenuhi.

     Jadi, HP = {0}.

Pertanyaan bonus:

|3(4² -2)| - |2|5-5|| + 10 = |3(16 -2)| - |2|0|| + 10

                                     = |3(14)| - |2(0)| + 10

                                     = |42| - |0| + 10

                                     = 42 - 0 + 10

                                     = 52

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gimana? Cukup mudah, bukan? 

Apabila ada yang ingin ditanyakan atau ada yang keliru, komen yaa..

Selamat belajar~

Salam ngemeal 🍲