Logaritma (Part I): Definisi, Sifat, dan Fungsi Logaritma Kelas 10
Masih ingat dengan materi eksponen, kan? Iyaa, yang pangkat itu. Kalau eksponen kita mencari hasil pangkatnya, sedangkan kalau logaritma kita mencari besar pangkatnya. Dua pangkat berapa yang hasilnya 128? Yap, jawabannya dua pangkat tujuh.
"Ih, itu mah gampang lah, ga perlu pakai logaritma"
Logatirma juga digunakan untuk mencari besar pangkat yang hasil pangkatnya bukan kelipatan dari bilangan pokoknya. Hemmm ribet juga yaa. Maksudnya begini. Ditanyakan 3 pangkat berapa yang hasilnya 4068? Disisi lain 37= 2187 dan 38= 6561. Lah? Jadi pangkat berapa? Naah, logaritma inilah yang bisa menjawabnya. Mari kita kenalan dulu dengan logaritma.
Definisi Logaritma
Logaritma adalah invers atau kebalikan dari eksponen (pangkat). Logaritma digunakan untuk menentukan besar pangkat dari suatu bilangan.
Bentuk umum:
an = b dapat dituliskan dalam bentuk logaritma menjadi
dengan a, b > 0 dan a ≠ 1.
Keterangan:
a adalah bilangan pokok (basis)
b adalah bilangan yang dicari nilai logaritmanya (numerus)
n adalah besar pangkat (nilai logaritma)
Contoh
a. 25 = 32, bentuk logaritmanya 2log 32 = 5
b. 3-3 = (1/27), bentuk logaritmanya 3log (1/27) = -3
c. (1/5)4 = (1/625), bentuk logaritmanya (1/5)log (1/625) = 4
d. 41/2 = 2, bentuk logaritmanya 4log 2 = 1/2
Jika basisnya 10 (a = 10), biasanya nilai a nya tidak dituliskan atau log b = n. Misalnya, 102 = 100 bentuk logaritmanya log 100 = 2, dan 103 = 1000 bentuk logaritmanya log 1000 = 3.
Sifat-sifat Logaritma
Logarima juga memiliki sifat-sifat yang bisa membantu dalam menyelesaikan persoalan logaritma, yaitu:
1). alog 1 = 0
2). alog a = 1
3). 
4). 
5). 
6). 
7). alog b + alog c = alog bc
8). alog b - alog c = alog (b/c)
9). alog b . blog c = alog c
Contoh
1). 3log 54 + 3log 6 - 3 = ...
Pembahasan:
3log 54 + 3log 6 - 3 = 3log 54 + 3log 6 - 3log 33 [sifat 3]
= 3log 54 + 3log 6 - 3log 27
= 3log (54 x 6 / 27) [sifat 7 & 8]
= 3log 12
2).
3). Jika 5log 3 = p, maka 15log 81 adalah ...
Pembahasan:
5log 3 = p ⇔ 3log 5 =1/p [Sifat 4]
15log 81 = 3log 81 / 3log 15 [Sifat 5]
= 4 / 3log (3 x 5)
= 4 /(3log 3 + 3log 5) [Sifat 7]
= 4 /(1 + (1/p))
= 4 /((p+1)/p)
= 4p / (p+1)
4). Bentuk sederhana dari 
adalah ...
adalah ... Pembahasan:
5).
Fungsi Logaritma
Bentuk Umum:
f(x) = alog x, dengan a > 0 dan a ≠ 1
Daerah asal (domain) dari fungsi logaritma tersebut adalah semua bilangan real positif atau dapat dituliskan Df = {x| x > 0, x ∈ R}, sedangkan daerah hasil (range) adalah semua bilangan real atau dapat dituliskan Rf = {f(x) = y | y ∈ R}. Invers fungsi logaritma adalah fungsi eksponen [f-1(x) = ax].
 |
| Sumber: geogebra.org |
Perhatikan grafik fungsi logartima dan fungsi eksponen. Seperti cermin yaa.. Karena logaritma kebalikan dari eksponen.
Ciri-ciri Grafik Fungsi Logaritma (f(x) = alog x)
 |
| Sumber: geogebra.org |
Berdadarkan gambar grafik di atas, dapat kita lihat bahwa grafik fungsi logaritma:
1). Memotong sumbu x di (1, 0).
2). Jika 0 < a < 1, fungsi f turun.
3). Jika a > 1, fungsi f naik.
4). Memiliki asimtot tegak (vertikal), yaitu garis x = 0 atau sumbu y.
Menggambar Grafik Fungsi Logaritma (f(x) = alog x)
Sebenarnya langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi logaritma sama saja dengan menggambar grafik fungsi lainnya. Hanya saja ada hal yang perlu diperhatikan.
Langkah 1
Ambil beberapa titik absis (x) sembarang. Tapi ingat!! pilih x yang bernilai positif. Apabila bentuk logaritmanya f(x) = alog g(x), maka pilih titik x yang membuat g(x) > 0. Misalnya, f(x) = 2log (x + 3), maka x = -1 bisa kalian pilih walaupun bernilai negatif. Karena apabila x = -1 disubstitusikan ke x + 3 menjadi (1) + 3 = 4, dan 4 > 0.
Langkah 2
Tentukan nilai f(x) atau titik ordinat (y) dari titik x yang kalian pilih di Langkah 1, sehingga didapatkan titik-titik koordinat yang dilalui oleh fungsi. Hanya tinggal mensubstitusi titik x ke fungsinya.
Langkah 3
Tentukan asimtot tegaknya. Seperti yang kita ketahui, fungsi logaritma memiliki asimtot tegak. Apabila bentuk fungsi logaritmanya f(x) = alog x, maka asimtot tegaknya adalah sumbu y atau garis x = 0. Apabila bentuk logaritmanya f(x) = alog g(x), maka asimtot tegaknya adalah g(x) = 0.
Langkah 4
Letakkan titik-titik koordinat yang diperoleh dalam bidang kartesius. Gambar pula asimtot tegaknya.
Langkah 5
Hubungkan titik-titik koordinat yang diperoleh sehingga membentuk kurva mulus. Pada grafik fungsi logaritma, menghubungkan titik-titiknya jangan dengan garis lurus yaa...
Agar lebih paham, coba kita gambar grafik f(x) = 2log (x - 3) bersama-sama.
Langkah 1
Pilih sembarang x dengan x > 3.
Misalkan x yang dipilih (3,25), (3,5), 4, 5, 7, 11
Langkah 2
Untuk x = 3,25, maka f(3,25) = y = 2log (3,25- 3)
⇔ y = 2log (1/4)
⇔ y = 2log (2-2)
⇔ y = -2. 2log 2
⇔ y = -2
Titik koordinatnya (3,25, -2)
Untuk x = 3,5, maka f(3,5) = y = 2log (3,5- 3)
⇔ y = 2log (1/2)
⇔ y = 2log (2-1)
⇔ y = -1. 2log 2
⇔ y = -1
Titik koordinatnya (3,5, -1)
Untuk x = 4, maka f(4) = y = 2log (4- 3)
⇔ y = 2log 1
⇔ y = 0
Titik koordinatnya (4, 0)
Untuk x = 5, maka f(5) = y = 2log (5- 3)
⇔ y = 2log 2
⇔ y = 1
Titik koordinatnya (5, 1)
Untuk x = 7, maka f(7) = y = 2log (7- 3)
⇔ y = 2log (4)
⇔ y = 2log (22)
⇔ y = 2. 2log 2
⇔ y = 2
Titik koordinatnya (7, 2)
Untuk x = 11, maka f(11) = y = 2log (11- 3)
⇔ y = 2log (8)
⇔ y = 2log (23)
⇔ y = 3. 2log 2
⇔ y = 3
Titik koordinatnya (11, 3)
Langkah 3
Karena bentuk fungsi logaritmanya f(x) = 2log (x - 3), maka asimtot tegaknya adalah garis x -3 = 0 atau x = 3
Langkah 4
Letakkan titik-titik koordinat yang telah diperoleh ke dalam bidang kartesius. Gambar asimtot tegaknya juga.
 |
| sumber: geogebra.org |
Langkah 5
Hubungkan titik-titik koordinat yang diperoleh sehingga menjadi
 |
| Sumber: geogebra.org |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Setelah mengenal logaritma, jadi terlihat tidak sesulit itu, bukan? Selanjutnya akan dibahas mengenai persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Ayoo semangat belajar lagi 😆
Semoga artikel ini bermanfaat bagi kalian. Jika ada yang keliru, jangan sungkan untuk komen yaa..
Selamat belajar~
Salam Ngemeal 🍲
Komentar
Posting Komentar