Eksponen (Part III): Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen Kelas 10

Sebelumnya kita telah mempelajari mengenai eksponen. Masih ingat kan eksponen itu apa? yaap eksponen adalah pangkat. Kalau persamaan dan pertidaksamaan masih ingat? Dua-duanya memang merupakan kalimat terbuka matematika. Bedanya, persamaan dihubungkan dengan "=", sedangkan pertidaksamaan dihubungkan dengan ">", "<", "≠", "≥", atau "≤". Biasanya dalam soal persamaan dan pertidaksamaan, tugas kita adalah mencari himpunan penyelesaiannya, atau dengan kata lain mencari nilai variabel yang belum diketahui agar memenuhi persamaan atau pertidaksamaannya. Lalu yang seperti apa persamaan dan pertidaksamaan eksponen itu?

Pernah lihat soal seperti ini? 

Himpunan penyelesaian dari 2^2a+1 = 5. 2^2a+1 - 8 adalah...

Okee, jangan panik, jangan pusing, jangan pergi. Soal ini tidak akan sulit apabila kita paham mengenai persamaan eksponen kok. Kalau begitu, mari kita mengenal persamaan dan pertidaksamaan eksponen terlebih dahulu. Karena tak kenal maka tak cinta uwu~

Cekidot...

Definisi Eksponen

Untuk setiap a ∊ bilangan real dan n ∊ bilangan asli, notasi aⁿ adalah hasil kali n buah faktor a, atau dapat dituliskan

                                                

dengan a adalah bilangan pokok atau basis

            n adalah eksponen atau pangkat atau indeks

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan dari bilangan eksponen yang pangkatnya, atau basis dan pangkatnya memuat suatu variabel (berupa fungsi). Kalau bingung, perhatikan contoh berikut ini.

(i) 2^2x+1 = 8^x-4  (persamaan eksponen dengan pangkat yang memuat suatu variabel (pangkatnya berupa fungsi))

(ii) (2x-4)^x-9 = (x-3)^2x-5  (persamaan eksponen dengan basis dan pangkat yang memuat suatu variabel (basis dan pangkatnya berupa fungsi))

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen, caranya berbeda-beda tergantung bentuk persamaan eksponennya. Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen.

Bentuk a^f(x) = 1

Jika a^f(x) = 1, dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = 0. Jelas, karena hanya bilangan berpangkat nol yang hasilnya satu.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari 8^x-4 = 1.

Pembahasan:

    8^x-4 = 1 ⇒ x - 4 = 0 

                 ⇔      x = 4

    Jadi, HP = {4}.

Bentuk a^f(x) = a^p

Jika a^f(x) = a^p, dengan a > 0, a ≠ 1, dan p ∈ bilangan real, maka f(x) = p. 

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari 4^2x-3 = 64.

Pembahasan:

    4^2x-3 = 64 ⇔ 4^2x-3 = 4³ ⇒ 2x - 3= 3

                                           ⇔     2x = 0

                                           ⇔       x = 0

    Jadi, HP = {0}.

Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Persamaan eksponen diatas memiliki bilangan pokok (basis) yang sama pada kedua ruas, yaitu a dan merupakan konstanta. Pangkat dari kedua basisnya berbeda, yaitu f(x) dan g(x). Kondisi agar persamaan tersebut bernilai benar adalah ketika pangkat basisnya sama, yaitu ketika f(x) = g(x). 

Jika a^f(x) = a^g(x), dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = g(x).

Contoh: 

Tentukan penyelesaian dari 2^2x+1 = 8^x-4.

Pembahasan:

    2^2x+1 = 8^x-4 ⇔ 2^2x+1 = 2^3(x-4) ⇒ 2x +1 = 3(x-4)

                                                     ⇔ 2x +1 = 3x - 12

                                                     ⇔        x = 13

    Jadi, HP ={13}.

Bentuk a^f(x) = b^f(x)

Persamaan eksponen diatas memiliki bilangan pokok (basis) yang berbeda, yaitu a dan b, dan keduanya merupakan konstanta. Pangkat dari kedua basis pada kedua ruas sama, yaitu f(x). Kondisi agar persamaan tersebut bernilai benar adalah ketika pangkat basisnya adalah nol, atau f(x) = 0 (a⁰ = b⁰ ⇔ 1 = 1).

Jika a^f(x) = b^f(x), dengan a, b > 0 dan a, b ≠ 1, maka f(x) = 0. 

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari 3^{x -7} = 5^x-7.

Pembahasan:

    3^{x -7} = 5^x-7 ⇒ x - 7 = 0

                           ⇔      x = 7

    Jadi, HP = {7}.

Bentuk a^f(x) = b^g(x)

Jika a^f(x) = b^g(x), dengan a, b > 0 dan a, b ≠ 1, maka log a^f(x) = log b^g(x).

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari (1/5)^x = 10^4-x.

Pembahasan:

    (1/5)^x = 10^4-x ⇒ log (1/5)^x = log 10^4-x 

                          ⇔ x log(1/5) = (4 -x) log 10

                          ⇔ x log(1/5) = 4 log10 - x log10

                          ⇔ x log(1/5) + x log 10 = 4 log10    

                          ⇔ x (log(1/5) + log 10) = 4 log10 

                          ⇔ x log ((1/5)🇽10) = 4 log10 

                          ⇔ x log 2 = 4 log10 

                          ⇔      x  = 4 log10 /log 2

                          ⇔      x  = 4. ²log10

    Jadi, HP = {4. ²log10}

Bentuk f(x)^g(x) = 1

Ada 3 kemungkinan yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

(i) Ketika f(x) = 1. 

Ketika f(x) = 1, maka  1^g(x) = 1 akan bernilai benar untuk setiap g(x) [1 dipangkatkan berapapun hasilnya akan tetap satu].

(ii) Ketika f(x) = -1. 

Ketika f(x)= (-1), maka (-1)^g(x) = 1 jika g(x) bernilai genap.

(iii) Ketika g(x) = 0.

Ketika g(x) = 0, maka f(x)⁰ = 1 benar jika f(x) ≠ 0.

Singkatnya, untuk bentuk f(x)^g(x) = 1, maka terdapat tiga kemungkinan, yaitu:

(i) f(x) = 1

(ii) f(x) = -1, jika g(x) genap

(iii) g(x) = 0, jika f(x) ≠ 0

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari (3x + 2)^{x- 6} = 1.

Pembahasan:

    (3x + 2)^{x- 6} = 1

    Misalkan f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x - 6, maka:

    Kemungkinan 1 (f(x) = 1)

        3x + 2 = 1

    ⇔      3x = -1

    ⇔        x = -1/3 ✔️

    Kemungkinan 2 (f(x) = -1)

        3x + 2 = -1

    ⇔      3x = -3

    ⇔        x = -1 ❌

    (periksa)

    Untuk x = -1, g(-1) = -1 - 6 = -7 (ganjil)

    Karena g(x) ganjil, x = -1 tidak memenuhi.

    Kemungkinan 3 (g(x) = 0)

        x - 6 = 0

    ⇔     x = 6 ✔️

    (periksa)

    Untuk x = 6, f(6) = 3(6) + 2 = 20 ≠ 0

    Karena f(x) ≠ 0, x = 6 memenuhi.

    Jadi, HP = {-1/3, 6}

      

Bentuk f(x)^h(x) = g(x)^h(x)

Persamaan eksponen diatas memiliki bilangan pokok (basis) yang berbeda, yaitu f(x) dan g(x), dan keduanya merupakan fungsi. Pangkat dari kedua basis pada kedua ruas sama, yaitu h(x). Ada 3 kemungkinan yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

(i) f(x) = g(x) 

Karena pangkatnya sama, maka persamaan bisa bernilai benar jika basisnya juga sama.

(ii) f(x) = -g(x). 

Ketika f(x) = -g(x), maka pangkatnya (h(x)) haruslah genap agar persamaan bernilai benar. Karena pangkat genap akan mempositifkan tanda negatif. Misalkan 2⁴ = (-2)⁴ ⇔ 16 = 16. Bagaimana jika pangkatnya (nilai h(x)) ternyata berupa pecahan? Tidak masalah. Selama pembilang dari pangkat pecahan tersebut bernilai genap, maka syarat h(x) genap terpenuhi. Bukan berarti h(x) yang berupa pecahan ini termasuk bilangan genap ya. Lalu bagaimana jika pangkatnya (nilai h(x)) ternyata bilangan irasional (bentuk akar)? Kalau itu sudah jelas bukan bilangan genap.

(iii) h(x) = 0.

Ketika h(x) = 0, maka f(x)⁰ = g(x)⁰ benar jika f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0 .

Singkatnya, untuk bentuk f(x)^h(x) = g(x)^h(x), maka terdapat tiga kemungkinan, yaitu:

(i) f(x) = g(x)

(ii) f(x) = -g(x), jika h(x) genap

(iii) h(x) = 0, jika f(x), g(x) ≠ 0

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari (x - 1)^{x+ 5} = (4x + 5)^{x+ 5}.

Pembahasan:

    (x - 1)^{x+ 5} = (4x + 5)^{x+ 5}

    Misalkan f(x) = x - 1, g(x) = 4x + 5, dan h(x) = x + 5, maka:

    Kemungkinan 1 (f(x) = g(x))

        x - 1 = 4x + 5

    ⇔  -3x = 6

    ⇔     x = -2 ✔️

    Kemungkinan 2 (f(x) = -g(x))

        x - 1 = -(4x + 5)

    ⇔x - 1 = -4x - 5

    ⇔   5x = -4

    ⇔     x = -4/5 ❌

    (periksa)

    Untuk x = -4/5, h(-4/5) = (-4/5) + 5 = 21/5 (tidak memenuhi syarat genap)

    Karena h(x) tidak memenuhi syarat genap, x = -4/5 tidak memenuhi.

    Kemungkinan 3 (h(x) = 0)

        x + 5 = 0

    ⇔     x = -5 ✔️

    (periksa)

    Untuk x = -5, f(-5) = -5 - 1 = -6 ≠ 0

                          g(-5) = 4(-5) + 5 = -15 ≠ 0

    Karena f(x), g(x) ≠ 0, x = -5 memenuhi.

    Jadi, HP = {-5, -2}.

Bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Persamaan eksponen diatas memiliki bilangan pokok (basis) yang sama, yaitu f(x) dan merupakan fungsi. Pangkat dari kedua basis pada kedua ruas berbeda, yaitu g(x) dan h(x). Ada 4 kemungkinan yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

(i) g(x) = h(x) 

Karena basisnya sudah sama, maka persamaan bisa bernilai benar jika pangkatnya juga sama.

(ii) f(x) = 1

Angka 1 jika dipangkatkan berapapun hasilnya akan tetap 1. Maka dari itu 1^g(x) = 1^h(x) mau berapapun g(x) dan h(x)nya hasilnya 1 = 1. 

(iii) f(x) = -1

Ketika f(x) = -1, maka pangkatnya (g(x) dan h(x)) haruslah keduanya genap atau keduanya ganjil agar persamaan bernilai benar. Jika g(x) dan h(x) genap maka (-1)^g(x) = (-1)^h(x) ⇔ 1 = 1, sedangkan jika g(x) dan h(x) keduanya ganjil maka (-1)^g(x) = (-1)^h(x) ⇔ -1 = -1. Bagaimana jika pangkatnya (nilai g(x) atau h(x)) ternyata berupa pecahan? Tidak masalah. Selama pembilang dari pangkat pecahan tersebut bernilai genap, maka syarat g(x) atau h(x) genap terpenuhi. Misalkan (-1)^8/3 = ³√(-1)⁸ = ³√(1) = 1 sehingga (-1)^8/3 = (-1)⁴ ⇔ 1 = 1 (syarat genap terpenuhi). Bukan berarti g(x) atau h(x) yang berupa pecahan ini termasuk bilangan genap ya. Jika pangkatnya (nilai g(x) atau h(x)) ternyata bilangan irasional (bentuk akar)? Kalau itu sudah jelas bukan bilangan genap atau ganjil.

(iv) f(x) = 0

Ketika f(x) = 0, maka 0^g(x) = 0^h(x) dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya positif. 

Singkatnya, untuk bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x), maka terdapat empat kemungkinan, yaitu:

(i) g(x) = h(x)

(ii) f(x) = 1

(iii) f(x) = -1, jika g(x) dan h(x) ganjil atau g(x) dan h(x) genap

(iv) f(x) = 0, jika g(x) dan h(x) positif

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari (x - 7)^3x = (x - 7)^2x+6.

Pembahasan:

    (x - 7)^3x = (x - 7)^2x+6

    Misalkan f(x) = x - 7, g(x) = 3x, dan h(x) = 2x + 6, maka:

    Kemungkinan 1 (g(x) = h(x))

        3x = 2x + 6

    ⇔  x = 6 ✔️

    Kemungkinan 2 (f(x) = 1)

        x - 7 = 1

    ⇔    x  = 8 ✔️

    Kemungkinan 3 (f(x) = -1)

        x - 7 = -1

    ⇔    x  = 6 ✔️

    (periksa)

    Untuk x = 6, g(6) = 3(6) = 18 (genap)

                         h(6) = 2(6) + 6 = 18 (genap)

    Karena g(x), h(x) genap, x = 6 memenuhi.

    Kemungkinan 4 (f(x) = 0)

        x - 7 = 0

    ⇔     x = 7 ✔️

    (periksa)

    Untuk x = 7, g(7) = 3(7) = 21 ≠ 0

                          h(7) = 2(7) + 6 = 20 ≠ 0

    Karena g(x), h(x) ≠ 0, x = 7 memenuhi.

    Jadi, HP = {6, 7, 8}.

Bentuk Aljabar

Apabila terdapat persamaan eksponen dalam bentuk aljabar

A(a^f(x))² + B(a^f(x)) + C = 0

dengan a ≠ 1, A ≠ 0, dan A, B, C ∈ bilangan real, maka dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi persamaan kuadrat atau memisalkan a^f(x) dengan variabel lain. Untuk lebih paham, coba lihat contoh berikut ini.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari:

a.  4(x - 4)² - 4(x - 4) = -1

b. 3. 2^2x+1 + 7. 2^x - 5 = 0

Pembahasan:

a. Misalkan x - 4 = p, maka:

    4(x - 4)² - 4(x - 4) + 1 = 0 ⇒ 4p² - 4p + 1 = 0

                                              ⇔ (2p - 1)(2p-1) = 0

                                              ⇔ p = 1/2

    p = 1/2 ⇒ (x - 4) = 1/2

                ⇔ x = 9/2

    HP = {9/2}

b. 3. 2^2x+1 + 7. 2^x - 5 = 0 ⇔ 3 . 2(2^x)² + 7. 2^x - 5 = 0

                                         ⇔ 6 (2^x)² + 7. 2^x - 5 = 0

    Misalkan 2^x = p, maka:

    6p² + 7p - 5 = 0 ⇔ (3p + 5)(2p - 1) = 0

                               ⇔ 3p + 5 = 0 atau 2p - 1 = 0

                               ⇔ 3p = -5 atau 2p = 1

                               ⇔ p = -5/3 atau p = 1/2

    

    Untuk p = -5/3,

    2^x = -5/3 ❌

    Tidak ada nilai x yang memenuhi untuk p = -5/3.

    Untuk p = 1/2,

    2^x = 1/2 ⇔ 2^x = 2^-1 ⇒ x = -1

    Jadi, HP = {-1}

Setelah belajar mengenai persamaan eksponen, berarti udah bisa dong untuk menjawab soal "Himpunan penyelesaian dari 2^2a+1 = 5. 2^2a+1 - 8 adalah...". Ayo kita kerjakan bersama.

Pembahasan:

2^2a+1 = 5. 2^2a+1 - 8 ⇔ 2^2a+1 - 5. 2^2a+1 + 8 = 0 

Misalkan 2^2a+1 = p, maka diperoleh:

    p - 5p + 8 = 0

⇔  -4p + 8 = 0     

⇔        -4p = -8

⇔           p = 2

p = 2 ⇒ 2^2a+1 = 2¹ ⇒ 2a+1 = 1

                               ⇔     2a = 0    

                               ⇔       a = 0 

Jadi, HP = {0}.

Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan dari bilangan eksponen yang pangkatnya, atau basis dan pangkatnya memuat suatu variabel (berupa fungsi). Terdapat beberapa sifat pertidaksamaan eksponen, yaitu:

(i)  Jika a^f(x) ≥ a^g(x), maka:

     f(x) ≥ g(x) apabila a > 1

     f(x) ≤ g(x) apabila 0 < a < 1

(ii) Jika a^f(x) > a^g(x), maka:

     f(x) > g(x) apabila a > 1

     f(x) < g(x) apabila 0 < a < 1

(iii) Jika a^f(x) ≤ a^g(x), maka:

     f(x) ≤  g(x) apabila a > 1

     f(x) ≥ g(x) apabila 0 < a < 1

(iv) Jika a^f(x) < a^g(x), maka:

     f(x) <  g(x) apabila a > 1

     f(x) > g(x) apabila 0 < a < 1

Gampangnya, yang harus kalian perhatikan adalah nilai basisnya. Apabila a > 1, maka tanda pertidaksamaannya tetap. Apabila 0 < a < 1 (nilai basisnya berupa pecahan), maka tanda pertidaksamaannya berubah menjadi kebalikannya. 

Contoh: 

1. Tentukan penyelesaian dari 4^2x-3 ≤ 64^x-5.

    Pembahasan:

    4^2x-3 ≤ 64^x-5 ⇔  4^2x-3 ≤ 4^3(x-5).

    Karena a = 4 > 1, maka:

    2x -3 ≤ 3(x - 5)   (tanda petidaksamaan tidak berubah karena a > 1)

⇔2x - 3 ≤ 3x - 15

⇔     -x ≤ -12

⇔       x ≥ 12

    Jadi, HP = {x| x ≥ 12}.

2. Tentukan penyelesaian dari (1/3)^{x^2-3x} ≥ 1.

    Pembahasan:

    (1/3)^{x^2-3x} ≥ 1 ⇔ (1/3)^{x^2-3x} ≥ (1/3)⁰

    Karena 0 < a = 1/3 < 1, maka:

      x² - 3x ≤ 0         (tanda pertidaksamaan berubah karena 0 < a < 1)

⇔x(x - 3) ≤ 0 

    Pembuat nol dari x(x-3) adalah x = 0 atau x = 3

    

    x(x-3) bernilai negatif karena x(x - 3) ≤ 0,

    sehingga HP = {x| 0 ≤ x ≤ 3}.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Agar lebih paham lagi, perbanyak kerjakan latihan soal persamaan dan pertidaksamaan eksponen.

Semoga bermanfaat yaa. Apabila ada yang keliru, silakan dikomen.

Selamat belajar~

Salam ngemeal 🍲