Fungsi (Part III): Operasi Aljabar pada Fungsi, Fungsi Komposisi, dan Fungsi Invers
Saatnya naik level!! Sebelumnya kita sudah membahas mengenai relasi dan fungsi. Relasi adalah suatu hubungan antara dua himpunan yang tidak kosong, sedangkan fungsi adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B dengan setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B.
Sekarang kita hanya akan membahas fungsi saja (bye-bye relasi 😂).
Fungsi f dapat dituliskan f: A ⇾ B atau f(a) = b (dibaca fungsi f memetakan a ke b atau b adalah peta dari a) dengan a ∈ A dan b ∈ B. Don't forget! notasi fungsi tidak hanya f saja, bisa g atau h atau p atau s atau yang lainnya. Biasanya sih menggunakan huruf kecil. Pokonya pilih notasi fungsi yang tidak menyusahkan kalian. Jangan pilih x, nanti jadinya x(x)=a, duh!
Tau ga kalau fungsi bisa ditambah dengan fungsi lagi? Penasaran kan jadinya gimana? Check this out!
Operasi Aljabar pada Fungsi
Kita bisa mendapatkan fungsi baru dengan menjumlahkan, mengurangi, membagi, mengalikan, dan memangkatkan fungsi-fungsi yang diketahui. Akan tetapi, fungsi baru tersebut bisa saja tidak terdefinisi. Lalu apa syaratnya agar fungsi baru bisa terdefinisi? Berikut definisi operasi aljabar pada fungsi.
Definisi
Diberikan f suatu fungsi dengan daerah asal Df, g suatu fungsi dengan daerah asal Dg, dan k suatu konstanta. Fungsi-fungsi f+g, f-g, k.f, f.g, f/g, dan f n didefinisikan sebagai:
(i) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
dengan daerah asal Df+g = Df ∩ Dg.
(ii) (f - g)(x) = f(x) - g(x)
dengan daerah asal Df-g = Df ∩ Dg.
(iii) (k.f)(x) = k.f(x)
(iv) (f.g)(x) = f(x).g(x)
dengan daerah asal Df.g = Df ∩ Dg.
(v) (f/g)(x) = f(x)/g(x); g(x) ≠ 0
dengan daerah asal Df+g = Df ∩ Dg -{x| g(x) = 0}.
(vi) (f n)(x) = (f(x))n
Jadi, fungsi-fungsi tersebut terdefinisi apabila daerah asalnya bukan himpunan kosong.
Apabila kalian masih bingung bagaimana menentukan daerah asal, bisa baca disini.
Contoh
1. Diketahui f(x) = x + 3 dan g(x) = √(x2 - 2x). Tentukan fungsi-fungsi berikut beserta daerah asal.
a. f + g
b. f - g
c. 4f
d. f.g
e. f/g
d. g2
Pembahasan
Df = R (bilangan real)
Mencari Dg
Syarat g terdefinisi adalah x2 - 2x ≥ 0 (Karena g adalah fungsi irasional)
x2 - 2x ≥ 0
⇔x(x - 2) ≥ 0
Jadi Dg = {x| x ≤ 0 atau x ≥ 2, x ∈ R}
Df ∩ Dg = R ∩ {x| x ≤ 0 atau x ≥ 2, x ∈ R}
= {x| x ≤ 0 atau x ≥ 2, x ∈ R}
a. f + g
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= (x + 3) + [√(x2 - 2x)]
= x + 3 + √(x2 - 2x)
Daerah asal
Df+g = Df ∩ Dg = {x| x ≤ 0 atau x ≥ 2, x ∈ R}
b. f - g
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
= (x + 3) - [√(x2 - 2x)]
= x + 3 - √(x2 - 2x)
Daerah asal
Df-g = Df ∩ Dg = {x| x ≤ 0 atau x ≥ 2, x ∈ R}
c. 4f
(4f)(x) = 4. f(x)
= 4 (x + 3)
= 4x + 12
Daerah asal
D4f = R (bilangan real)
d. f.g
(f.g)(x) = f(x) . g(x)
= (x + 3) . [√(x2 - 2x)]
= (x + 3)√(x2 - 2x)
Daerah asal
Df.g = Df ∩ Dg = {x| x ≤ 0 atau x ≥ 2, x ∈ R}
e. f/g
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
= (x + 3)/[√(x2 - 2x)]
, dengan x ≠ 0 dan x ≠ 2Daerah asal
Df/g = Df ∩ Dg -{x| g(x) = 0}
= {x| x ≤ 0 atau x ≥ 2, x ∈ R} - {0, 2}
= {x| x < 0 atau x > 2, x ∈ R}
f. g2
(g2)(x) = (g(x))2
= (√(x2 - 2x))2
= x2 - 2x
Daerah asal
Dg^2 = R
2. Diketahui 
dan s(x) = (x - 3)2. Tentukan fungsi-fungsi berikut beserta daerah asal.
dan s(x) = (x - 3)2. Tentukan fungsi-fungsi berikut beserta daerah asal.a. h + s
b. 9h.s
c. h/(2s)
d. 2h2
Pembahasan
Mencari Dh
Syarat h terdefinisi adalah 3x - 9 ≠ 0.
3x - 9 = 0
⇔ 3x = 9
⇔ x = 3
Jadi Dh = {x| x ≠ 3, x ∈ R}
Ds = R
Dh ∩ Ds = {x| x ≠ 3, x ∈ R} ∩ R
= {x| x ≠ 3, x ∈ R}
a. h + s
(h + s)(x) = h(x) + s(x)
Daerah asal
Dh+s = Dh ∩ Ds = {x| x ≠ 3, x ∈ R}
b. 9h.s
(9h.s)(x) = (9h)(x). s(x)
= 9(h(x)). s(x)
Daerah asal
D9h.s = R
c. h/(2s)
(h/(2s))(x) = h(x)/[(2s)(x)]
= h(x)/[2(s(x))]
Daerah asal
Dh/2s = {x| x ≠ 3, x ∈ R}
d. 2h2
(2h2)(x) = 2(h2)(x)
= 2. (h(x))2
Daerah asal
D(2h)^2 = {x| x ≠ 3, x ∈ R}
Sebelum lanjut ke fungsi komposisi dan fungsi invers, kita kenalan dulu dengan yang namanya fungsi identitas.
Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi yang semua anggota domainnya dipetakan ke dirinya sendiri (daerah hasil = domain). Agar lebih jelas, berikut definisi fungsi identitas.
Definisi
Diberikan i suatu fungsi dari A ke B. Jika i(x) = x untuk setiap x ∈ A, maka fungsi i disebut fungsi identitas di A.
Contoh
Diketahui f(x) = x, tentukan bayangan dari (-3), (5), dan (1/4).
Pembahasan
f(-3) = -3
f(5) = 5
f(1/4) = 1/4
Terlihat setiap anggota domain dipetakan ke dirinya sendiri.
Fungsi Komposisi
Fungsi itu seperti mesin. Bila mesin mengubah suatu objek menjadi objek yang lain, sedangkan fungsi mengubah suatu bilangan menjadi bilangan yang lain. Misalkan kita ingin membuat kue dari tepung, gula, telur. Untuk membuat kue, kita membutuhkan mesin pengaduk adonan dan mesin pemanggang. Tepung, gula, telur diproses oleh mesin pengaduk adonan sehingga menjadi adonan. Kemudian adonan diproses oleh mesin pemanggang sehingga jadilah kue. Proses mengubah tepung, gula, telur menjadi kue adalah gabungan/komposisi dari proses pengadukan dan proses pemanggangan. Mulai kebayang?
Misalkan fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diproses oleh mesin f sehingga menghasilkan output berupa f(x). Kemudian f(x) dijadikan input untuk diproses oleh mesin g sehingga didapat output berupa g(f(x)). Fungsi yang mengubah (x) menjadi g(f(x)) adalah gabungan dari operasi fungsi f dan g, atau biasa kita sebut fungsi komposisi. Jadi fungsi komposisi adalah penggabungan dari operasi pada dua atau lebih fungsi agar menghasilkan fungsi baru.
Definisi Fungsi Komposisi
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan Rf ∩ Dg ≠ Ø. Terdapat suatu fungsi dari himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g, ditulis g o f (dibaca g bundaran f), yang ditentukan dengan
(gof)(x) = g(f(x))
dengan daerah asal fungsi komposisi adalah Dgof = {x ∈ Df | f(x) ∈ Dg}, dan daerah hasil fungsi komposisi adalah Rgof = {g(f(x)) | x ∈ Dgof}.
Bagaimana kalau fungsi (fog)(x)? Dengan menggunakan definisi, fungsi (fog)(x) = f(g(x)) dengan syarat Rg ∩ Df ≠ Ø.
Komposisi bisa lebih dari dua fungsi, tetapi jangan lupa syarat agar fungsi komposisi terdefinisi.
a. (fogoh)(x) = f(g(h(x))) terdefinisi jika Rh ∩ Dg ≠ Ø dan Rgoh ∩ Df ≠ Ø
b. (fogohoj)(x) = f(g(h(j(x)))) terdefinisi jika Rj ∩ Dh ≠ Ø, Rhoj ∩ Dg ≠ Ø dan Rgohoj ∩ Df ≠ Ø
dst..
Contoh
1. Misalkan fungsi f dan g dinyatakan dalam himpunan pasangan terurut.
f = {(1, 2), (2, 4), (3,6), (4, 8), (5,4}
g = {(1, 3), (3, 5), (5, 7), (7, 9)}
Periksa apakah fog dan gof terdefinisi. Jika ya, nyatakan fungsi dalam himpunan pasangan terurut.
Pembahasan
Diketahui:
Fungsi f
f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6, f(4) = 8, f(5) = 4
Df = {1,2,3,4,5}
Rf = {2,4,6,8}
Fungsi g
g(1) = 3, g(3) = 5, g(7) = 9, g(5) = 7
Dg = {1,3,5,7}
Rg = {3,5,7,9}
fog akan terdefinisi jika Rg ∩ Df ≠ Ø
Rg ∩ Df = {3,5,7,9} ∩ {1,2,3,4,5}
= {3,5}
≠ Ø
sehingga fog terdefinisi.
Fungsi fog
fog(x) = f(g(x))
f(g(1)) = f(3) = 6
f(g(3)) = f(5) = 4
f(g(5)) = f(7) = tidak ada
f(g(7)) = f(9) = tidak ada
sehingga fog = {(1, 6), (3, 4)}
gof akan terdefinisi jika Rf ∩ Dg ≠ Ø
Rf ∩ Dg = {2,4,6,8} ∩ {1,3,5,7}
= Ø
sehingga gof tidak terdefinisi.
2. Diketahui f: R ⇾ R dengan f(x) = x2 - 5x - 6 dan g: R ⇾ R dengan g(x) = √(1 - x). Periksa apakah fog dan gof terdefinisi. Jika ya, tentukan rumus fungsi komposisinya!
Pembahasan
f: R ⇾ R dengan f(x) = x2 - 5x - 6
Df = R
Mencari Rf
Titik puncak (-b/2a, -D/4a)
-D/4a = -(b2 - 4ac)/4a
= -((-5)2 - 4(1)(-6))/ 4(1)
= - (25+24)/4
= - (49)/4
= -12,25
Karena a = 1 > 0 maka Rf = {y| y ≥ -12,25, y ∈ R}
g: R ⇾ R dengan g(x) = √(1 - x)
syarat agar fungsi g terdefinisi 1-x ≥ 0 atau x ≤ 1 sehingga Dg = {x| x ≤ 1, x ∈ R}
Rg = {y| y ≥ 0, y ∈ R}
fog akan terdefinisi jika Rg ∩ Df ≠ Ø
Rg ∩ Df = {y| y ≥ 0, y ∈ R} ∩ R
= {y| y ≥ 0, y ∈ R}
≠ Ø
sehingga fog terdefinisi.
Fungsi fog
(fog)(x) = f(g(x))
= f(√(1 - x))
= (√(1 - x))2 - 5(√(1 - x)) - 6
= (1 - x) - [5√(1 - x)] - 6
= - x - 5 - [5√(1 - x)]
gof akan terdefinisi jika Rf ∩ Dg ≠ Ø
Rf ∩ Dg = {y| y ≥ -12,25, y ∈ R} ∩ R
= {y| y ≥ 0, y ∈ R} ∩ {x| x ≤ 1, x ∈ R}
= {0 ≤ x ≤ 1, x ∈ R}
≠ Ø
sehingga gof terdefinisi.
Fungsi gof
(gof)(x) = g(f(x))
= g(x2 - 5x - 6)
= √(1 - (x2 - 5x - 6))
= √(1 - x2 + 5x + 6)
= √- x2 + 5x + 7)
3. Diketahui f: R ⇾ R dengan f(x) = 1/(x2 - 4), g: R ⇾ R dengan g(x) = √(x2 - 10x + 25), dan h: R ⇾ R dengan h(x) = x + 3. Periksa apakah fogoh terdefinisi. Jika ya, tentukan rumus fungsi komposisinya!
Pembahasan
f: R ⇾ R dengan f(x) = 1/(x2 - 4)
Df = {x| x ≠ -2, x ≠ 2, x ∈ R}
g: R ⇾ R dengan g(x) = √(x2 - 10x + 25)
syarat agar fungsi g terdefinisi (x - 5)2 ≥ 0
semua bilangan real x memenuhi (x - 5)2 ≥ 0
sehingga Dg = R
Rg = {y| y ≥ 0, y ∈ R}
h: R ⇾ R dengan h(x) = x + 3
Dh = R
Rh = R
goh terdefinisi jika Rh ∩ Dg ≠ Ø
Rh ∩ Dg = R ∩ R
= R
≠ Ø
sehingga goh terdefinisi
Fungsi goh
(goh)(x) = g(h(x))
= g(x + 3)
= √((x + 3)2 - 10(x + 3) + 25)
= √(x2 + 6x + 9 - 10x - 30 + 25)
= √(x2 - 4x + 4)
= √((x - 2)2)
= x - 2
dengan Dgoh = R dan Rgoh = R
fogoh terdefinisi jika Rgoh ∩ Df ≠ Ø
Rgoh ∩ Df = R ∩ {x| x ≠ -2, x ≠ 2, x ∈ R}
= {x| x ≠ -2, x ≠ 2, x ∈ R}
≠ Ø
maka fogoh terdefinisi
Fungsi fogoh
(fogoh)(x) = f(g(h(x)))
= f(x-2)
= 1/((x-2)2 - 4)
= 1/(x2 - 4x + 4 - 4)
= 1/(x2 - 4x) dengan x ≠ 0, x ≠ 4
Sebenarnya, jika yang ditanyakan adalah rumus fungsi komposisinya saja, bisa diselesaikan langsung
(fogoh)(x) = f(g(h(x)))
= f(g(x+3))
= f(√((x + 3)2 - 10(x + 3) + 25))
= f(√(x2 + 6x +9 - 10x - 30 + 25))
= f(√(x2 - 4x +4))
= f(√((x-2)2)
= f(x-2)
= 1/((x-2)2 - 4)
= 1/(x2 - 4x + 4 - 4)
= 1/(x2 - 4x) dengan x ≠ 0, x ≠ 4
Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Diberikan suatu fungsi f, g, h.
(i) Rf ∩ Dg ≠ Ø dan Rg ∩ Df ≠ Ø, maka
(fog)(x) ≠ (gof)(x) [Tidak berlaku sifat komutatif]
(ii) Jika Rh ∩ Dg ≠ Ø; Rgoh ∩Df ≠ Ø; Rg ∩ Df ≠ Ø; Rh ∩ Dfog ≠ Ø, maka berlaku
(fo(goh))(x) = ((fog)oh)(x) [Sifat asosiatif]
(iii) Jika terdapat fungsi identitas i, maka
(foi)(x) = (iof)(x) = f(x)
Contoh
1. Diketahui dua fungsi
dan g(x) = x - 5. Tentukan:
dan g(x) = x - 5. Tentukan:a. (fog)(x)
b. (gof)(x)
c. (fof)(x)
d. (gog)(x)
e. (fog)(-2)
f. (gof)(4)
Pembahasan
a. (fog)(x) = f(g(x))
= f(x-5)
b.
c.
d. (gog)(x) = g(g(x))
= g(x - 5)
= (x - 5) - 5
= x -10
e. (fog)(-2)
(fog)(x) = (x - 7)/(2x - 7)
(fog)(-2) = ((-2) - 7)/(2(-2) - 7)
= (-9)/(-4 -7)
= 9/11
f. (gof)(4)
(gof)(x) = (-9x - 17)/(2x + 3)
(gof)(4) = (-9(4) - 17)/(2(4) + 3)
= (-36 - 17)/(8 + 3)
= (-53)/(11)
= (-53)/(11)
= (-53)/(11)
2. Diketahui fungsi f(x) = 2x - 3 dan (fog)(x) = 2x2 - 8x + 11. Tentukan nilai g(-5)!
Pembahasan
(fog)(x) = 2x2 - 8x + 11
⇔ f(g(x)) = 2x2 - 8x + 11
⇔ 2g(x) - 3 = 2x2 - 8x + 11
⇔ 2g(x) = 2x2 - 8x + 14
⇔ g(x) = x2 - 4x + 7
⇔ 2g(x) = 2x2 - 8x + 14
⇔ g(x) = x2 - 4x + 7
g(-5) = (-5)2 - 4(-5) + 7
= 25 + 20 + 7
= 52
3. Diketahui fungsi f(x) = √(x - 1) dan (gof)(x) = x2 - 2x. Tentukan nilai g(x)!
Pembahasan
(gof)(x) = x2 - 2x
⇔ g(f(x)) = x2 - 2x
⇔ g(√(x - 1)) = x2 - 2xmisalkan u = √(x - 1) ⇔ u2 = x - 1
⇔ u2 + 1 = x
g(u) = (u2 + 1)2 - 2(u2 + 1)
= u4 + 2u2 + 1 - 2u2 - 2
= u4 - 1
maka
g(x) = x4 - 1
4. Diketahui g(x) = x + 7 dan (fog)(x) = x2 + 2x - 5. Tentukan nilai f(2)!
Pembahasan
(fog)(x) = x2 + 2x - 5
⇔ f(x + 7) = x2 + 2x - 5
misalkan u = x + 7 ⇔ x = u - 7
f(u) = (u - 7)2 + 2(u - 7) - 5
= u2 - 14u + 49 + 2u - 14 - 5
= u2 - 12u + 30
maka
f(2) = (2)2 - 12(2) + 30
= 4 - 24 + 30
= 10
-cara alternatif-
(fog)(x) = x2 + 2x - 5
⇔ f(x + 7) = x2 + 2x - 5
Karena yang ditanya f(2) maka 2 = x + 7 ⇔ x = -5
f(2) = (-5)2 + 2(-5) - 5
= 25 - 10 - 5
= 10
5. Jika f(x - 2) = 3 - 2x dan (gof)(x+2) = 5 - 4x, maka nilai g(-1) adalah ...
Pembahasan
f(x - 2) = 3 - 2x
misalkan p = x - 2 ⇔ x = p + 2
f(p) = 3 - 2(p+2)
= 3 - 2p - 4
= -2p - 1
sehingga
f(x+2) = -2(x + 2) -1
= -2x -4 -1
= -2x -5
(gof)(x+2) = 5 - 4x
⇔ g(f(x+2)) = 5 - 4x
⇔ g(f(x+2)) = 5 - 4x
⇔ g(-2x-5) = 5 - 4x
Karena yang ditanya g(-1) maka -1 = -2x -5 ⇔ x = -2
g(-1) = 5 - 4(-2)
= 5 + 8
= 13
6. Jika f(x) = √(x + 1) dan g(x) = 1/(x2 - 1), tentukan daerah asal fungsi komposisi gof!
Pembahasan
(gof)(x) = g(f(x))
= g(√(x + 1))
= 1/((√(x + 1))2 - 1)
= 1/((x + 1) -1)
= 1/x , x ≠ 0
Dgof = {x|x ∈ R ,x ≠ 0}
Df = {x| x ≥ -1, x ∈ R }
Syaratnya Dgof ⊆ Df maka
Dgof ∩ Df = {x|x ∈ R ,x ≠ 0} ∩ {x| x ≥ -1, x ∈ R }
= {x| x ≥ -1, x ≠ 0, x ∈ R }
= {x| -1 ≤ x < 0 atau x > 0, x ∈ R}
7. Jika f(x) = ax + 3 dan f(f(x)) = 4x + 9, maka nilai a2 + 3a + 3 adalah...
Pembahasan
f(f(x)) = 4x + 9
⇔ f(ax + 3) = (4x + 6) + 3
⇔ f(ax + 3) = 2(2x + 3) + 3
diperoleh ax + 3 = 2x + 3, maka a = 2
(2)2 + 3(2) + 3 = 4 + 6 + 3 = 13
8. Jika f(x) = 5x - 3, g(x) = 3x + b, dan g(f(1)) = 8, tentukan nilai g(1)!
Pembahasan
g(f(1)) = 8
⇔ g(5(1) - 3) = 8
⇔ g(2) = 8
⇔ 3(2) + b = 8
⇔ 6 + b = 8
⇔ b = 2
g(x) = 3x + 2
g(1) = 3(1) +2
= 5
9. Diketahui (gof)(x) = 4x2 + 4x dan g(x) = x2 - 1. Tentukan nilai f(x-2)!
Pembahasan
(gof)(x) = 4x2 + 4x
⇔g(f(x)) = 4x2 + 4x
⇔(f(x))2 - 1 = 4x2 + 4x
⇔ (f(x))2 = 4x2 + 4x +1
⇔ (f(x))2 = (2x + 1)2
maka f(x) = 2x + 1
f(x-2) = 2 (x-2) + 1
= 2x - 4 +1
= 2x - 3
10. Jika f(x) = (√x) + 1 dan g(x) = x2 - 4, tentukan daerah asal fungsi komposisi fog!
Pembahasan
(fog)(x) = f(g(x))
= f(x2 - 4)
= (√(x2 - 4)) + 1
Mencari Dfog
Syaratnya
x2 - 4 ≥ 0
⇔ (x -2)(x+2) ≥ 0
⇔ x ≤ -2 atau x ≥ 2
maka Dfog = {x| x ≤ -2 atau x ≥ 2, x ∈ R}
Dg = {x| x ∈ R}
Syaratnya daerah asal fungsi komposisi Dfog ⊆ Dg maka
Dfog ⊆ Dg = {x| x ≤ -2 atau x ≥ 2, x ∈ R} ∩ {x| x ∈ R}
= {x| x ≤ -2 atau x ≥ 2, x ∈ R}
Fungsi Invers
Fungsi invers adalah fungsi yang berkebalikan dari fungsi asal. Perlu diperhatikan bahwa invers fungsi dan fungsi invers memiliki makna yang berbeda. Fungsi invers adalah fungsi yang merupakan invers dari fungsi asalnya, sedangkan invers fungsi belum tentu berupa fungsi. Berikut definisi dari invers fungsi.
Definisi (pasangan terurut)
Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(x,y)| x ∈ A dan y ∈ B}, maka invers fungsi f adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan {(y,x) | y ∈ B dan x ∈ A }. Invers fungsi f yang merupakan fungsi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan {(y,x) | y ∈ B dan x ∈ A } disebut fungsi invers (dilambangkan f -1).
Contoh
1. Diketahui fungsi f = {(-1, 0), (0, -1), (1, 0), (2, 3), (3, 8)}
Invers dari f adalah {(0, -1), (-1, 0), (0, 1), (3, 2), (8, 3)}. Invers dari f bukanlah fungsi karena terdapat nilai x yang memiliki dua pasangan y (x = 0 memiliki pasangan -1 atau 1), sehingga bukanlah fungsi invers.
2. Diketahui fungsi g = {(-1,1), (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5)}
Invers dari g adalah {(1, -1), (2, 0), (3, 1), (4, 2), (5, 3)}. Invers dari g merupakan fungsi, atau dapat disebut fungsi invers g -1.
Definisi Fungsi Invers
Misalkan f suatu fungsi dari A ke B. Jika terdapat fungsi f -1 dari B ke A sehingga (fof -1)(x) = (f -1of)(x) = i(x) = x untuk semua x ∈ A, maka fungsi f -1 disebut fungsi invers untuk f.
Menentukan Fungsi Invers
Jika f -1 adalah fungsi invers untuk f, maka berlaku f(x) = y ⇔ f -1(y) = x, untuk setiap x ∈ Df dan y ∈ Rf . Kasarnya, yang biasanya f(x) =... , pada fungsi invers kita mencari x = ... .
Contoh
1. Tentukan fungsi invers dari g(x) = 5x - 2!
Pembahasan
g(x) = 5x - 2
⇔ y = 5x - 2
⇔ y + 2 = 5x
⇔ x = (y + 2)/5 ⇔g -1(y) = (y + 2)/5
sehingga
g -1(x) = (x + 2)/5
2. Tentukan fungsi invers dari
!
Pembahasan
!Pembahasan
Cara cepat!!!
sehingga h(x) = (-3x - 8)/(8x+ 5) ⇒ h-1(x) = (-5x -8)/(8x + 3); x ≠ -3/8
3. Tentukan fungsi invers dari f(x) = √(3 - x)!
Pembahasan
f(x) = 5x - 2
⇔ y = √(3 - x)
⇔ y2 = (√(3 - x))2
⇔ y2 = 3 - x ⇔ y2 - 3 = - x
⇔ x = -y2 + 3
⇔f -1(y) = -y2 + 3
sehingga
f -1(x) = -x2 + 3
4. Tentukan invers dari fungsi g(x) = 2x2 + 5!
Pembahasan
g(x) = 2x2 + 5
⇔ y = 2x2 + 5
⇔ y - 5 = 2x2
⇔ x2 = (y - 5)/2 ⇔ x = ±√((y - 5)/2)
⇔ g -1(y) = ± √((y - 5)/2)
sehingga
g -1(x) = ± √((x - 5)/2)
Dari pejabaran di atas, diperoleh dua fungsi. Penentuan fungsi invers yang diambil berdasarkan interval dari domain fungsi kuadrat asalnya.
5. Tentukan invers dari fungsi h(x) = x2 -5x - 6!
Pembahasan
h(x) = x2 -5x - 6
⇔ y = x2 -5x - 6
⇔ y + 6 = x2 -5x
⇔ y + 6 + (25/4) = x2 -5x + (25/4)
⇔ y + (49/4) = (x - (5/2))2
⇔ x - (5/2)= ± √(y + (49/4))
⇔ x = (5/2) ± √((4y + 49)/4)
⇔ x = (5/2) ± (1/2)√(4y + 49)
⇔ h -1(y) = (5/2) ± (1/2)√(4y + 49)
sehingga
h -1(x) = (5/2) ± (1/2)√(4x + 49)
Dari pejabaran di atas, diperoleh dua fungsi. Penentuan fungsi invers yang diambil berdasarkan interval dari domain fungsi kuadrat asalnya.
Cara cepat!!!
sehingga h(x) = x2 -5x - 6 ⇒ h-1(x) = [-(-5) ± √((-5)2 - 4(1)(-6 - x))]/2(1)
= [5 ± √(25 + 24 + 4x)]/2
= [5 ± √(49 + 4x)]/2
= (5/2) ± (1/2) √(49 + 4x)
6. Tentukan fungsi invers dari 
!
! Pembahasan
7. Tentukan fungsi invers dari g(x) = (2x-3)7 -1 !
Pembahasan
g(x) = (2x-3)7 -1
⇔ y = (2x-3)7 -1
⇔ y + 1 = (2x-3)7
8. Tentukan fungsi invers dari h(x) = 32x-1 + 2!
Pembahasan
h(x) = 32x-1 + 2
⇔ y = 32x-1 + 2
⇔ y - 2 = 32x-1 ⇔ 2x - 1 = 3log(y-2)
⇔ 2x = 1 + 3log(y-2)
⇔ x = [1 + 3log(y-2)]/2
⇔ h -1(y) = [1 + 3log(y-2)]/2
sehingga h -1(x) = [1 + 3log(x-2)]/2
9. Tentukan fungsi invers dari
!
! Pembahasan
10. Jika fungsi invers h-1(x - 4) = (4 - 3x)/(x - 2) dengan x ≠ 2, tentukan nilai h(-5)!
Pembahasan
h-1(x - 4) = (4 - 3x)/(x - 2)
misalkan u = x - 4 ⇔ x = u + 4
h-1(u) = (4 - 3(u+4))/((u + 4) - 2)
= (4 - 3u - 12)/(u + 2)
= (-3u - 8)/(u + 2)
dengan cara cepat, diperoleh
h(u) = (-u - 8)/(3u + 2)
h(-5) = (-(-5) - 8)/(3(-5) + 2)
= (-3)/(-13)
= 3/13
Sifat-sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Misalkan f dan g fungsi bijektif. Invers fungsi tersebut berturut-turut f -1 dan g-1. Fungsi identitas i(x) = x. Berikut sifat fungsi komposisi dan fungs invers, antara lain:
(i) (f -1(x))-1 = f
(ii) (fof -1)(x) = (f -1of)(x) = i(x) = x
(iii) (fog)-1(x) = (g -1of -1)(x)
(iv) f(a) = b ⇔ f -1(b) = a dengan a ∈ Df dan b ∈ Rf
Contoh
1. Jika f -1(x) = 3 - x dan 
, tentukanlah nilai (gof)-1(x).
, tentukanlah nilai (gof)-1(x).Pembahasan
(gof)-1(x) = (f -1og-1)(x) [sifat iii]
= f -1(g-1(x))
2. Jika f(x) = 2x + 5 dan g(x) = (√x) - 1, tentukanlah nilai (fog)-1(x).
Pembahasan
(fog)(x) = f(g(x))
= f((√ x) - 1)
= 2((√ x) - 1) + 5
= 2(√ x) - 2 + 5
= 2(√ x) + 3
misalkan y = (fog)(x), maka
y = 2(√ x) + 3
⇔ y - 3 = 2(√ x)
⇔ (y - 3)/2 = (√ x)
⇔ x = [(y - 3)/2]2
⇔ x =(y2- 6y + 9)/4
⇔(fog)-1(y) = (y2- 6y + 9)/4
sehingga (fog)-1(x) = (x2- 6x + 9)/4
3. Diketahui f(x +1) = (2x - 7)/(3x + 7). Tentukan nilai x yang memenuhi (fof)-1(3x+4) = 1!
Pembahasan
f(x +1) = (2x - 7)/(3x + 7)
misalkan u = x + 1 ⇔ x = u -1
f(u) = (2(u - 1) - 7)/(3(u - 1)+ 7)
= (2u - 2 - 7)/(3u - 3+ 7)
= (2u - 9)/(3u + 4) (fof)-1(3x+4) = 1
⇔ (fof)(1) = 3x+4 [sifat iv]
⇔ f(f(1)) = 3x+4
⇔ f((2(1) - 9)/(3(1) + 4)) = 3x+4
⇔ f((2(1) - 9)/(3(1) + 4)) = 3x+4
⇔ f((2 - 9)/(3 + 4)) = 3x+4
⇔ f(-7/7) = 3x+4
⇔ f(-1) = 3x+4
⇔ f(-1) = 3x+4
⇔ (2(-1) - 9)/(3(-1) + 4) = 3x+4
⇔ (-2 - 9)/(-3 + 4) = 3x+4
⇔ -11/1 = 3x+4
⇔ -11 = 3x+4
⇔ 3x = -15
⇔ x = -5
4. Jika f(x - 1) = x + 2 dan g(x) = (2 - x)/(x + 3) dengan x ≠ -3, tentukan nilai (g-1of)(-2)!
Pembahasan
f(x - 1) = x + 2
misalkan u = x - 1 ⇔ x = u + 1
f(u) = (u + 1) + 2
= u + 3
f(-2) = -2 + 3 = 1
g(x) = (2 - x)/(x + 3)
⇔ y = (2 - x)/(x + 3)
⇔ y(x + 3) = 2 - x
⇔ yx + 3y = 2 - x
⇔ yx + x = 2 - 3y
⇔ x(y + 1) = 2 - 3y
⇔ x = (2 - 3y)/(y + 1)
⇔ g-1(y) = (2 - 3y)/(y + 1)
sehingga g-1(x) = (2 - 3x)/(x + 1)
(g-1of)(-2) = g-1(f(-2))
= g-1(1)
= (2 - 3(1))/((1) + 1)
= (2 - 3)/(2)
= -1/2
5. 
Pembahasan
Pembahasan
[sifat iv]Karena yang ditanyakan f -1(3) maka
2x - 5 = 3
⇔ 2x = 8
⇔ x = 4
sehingga diperoleh
f -1(3) = [√((3) + 1)]/[(3) - 1]
= (√4)/2
= 2/2
= 1
6. Jika fungsi f dan g memiliki invers dan memenuhi f(2x) = g(x - 3), tentukan f -1(x)!
Pembahasan
misalkan p = f(2x) = g(x - 3) sehingga diperoleh p = f(2x) dan p = g(x - 3)
g(x - 3) = p
⇔ g -1(p) = x - 3 [sifat iv]
⇔ x = g -1(p) + 3
f(2x) = p
⇔ f -1(p) = 2x [sifat iv]
substitusi x = g -1(p) + 3
f -1(p) = 2(g -1(p) + 3)
= 2g -1(p) + 6
sehingga
f -1(x) = 2g-1(x) + 6
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Semoga artikel ini dapat bermanfaat. Apabila ada yang keliru, jangan lupa komen yaa...
Selamat Belajar ~
Salam Ngemeal 🍲
Sumber:
- Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. (2017). Matematika Kelas X Edisi Revisi. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. Bisa diakses online disini.
- Dedy, E., dkk. (2005). Kalkulus I. Malang: Universitas Negeri Malang.
Komentar
Posting Komentar