Persamaan Kuadrat (Part II): Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Sebelumnya, sudah dibahas mengenai definisi persamaan kuadrat. Nah, pada artikel ini akan diulas mengenai metode untuk menentukan persamaan kuadrat. Sebagai pengingat, persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat: 

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

dengan a sebagai koefisien dari x²

            b sebagai koefisien dari x

            x sebagai variabel

            c sebagai konstanta

Menentukan Persamaan Kuadrat

Apabila diketahui akar-akar persamaan kuadrat (x1 dan x2), maka persamaan kuadratnya dapat ditentukan dengan dua metode.

Metode I

Substitusi akar-akar persamaan kuadrat (x1 dan x2) ke (x - x1)(x - x2) = 0 lalu diselesaikan secara aljabar.

Metode II

Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat. Penjumlahan akar-akar x1 + x2 = -b/a, sedangkan hasil kali akar-akar x1 . x2 = c/a. Bentuk (x - x1)(x - x2) = 0 bisa diubah menjadi x² - (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0, sehingga tinggal substitusikan saja jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat ke x² - (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0.

Contoh

Tentukan persamaan kuadrat jika akar-akarnya adalah -2/3 dan 2/3.

Pembahasan

Misalkan x1 = -2/3 dan x2 = 2/3

Metode I

(x - x1)(x - x2)= 0 ⇒ (x - (-2/3))(x - (2/3)) = 0

                             ⇔ (x + (2/3))(x - (2/3)) = 0

                             ⇔ x² - (2/3)x + (2/3)x - (4/9) = 0

                             ⇔ x² - (4/9) = 0

Metode II

x² - (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0 ⇒ x² - ((-2/3)+(2/3))x + (-2/3)(2/3) = 0

                                            ⇔ x² - (0)x + (-4/9) = 0

                                            ⇔ x² - (4/9) = 0

Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Apabila akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah α dan β, maka persamaan kuadrat baru yang jumlah dan hasil kali akar-akarnya dapat dinyatakan dalam α + β dan/atau αβ dapat disusun dengan:

(i) Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat awal

• Penjumlahan akar akar α + β = -b/a
• Hasil kali akar akar α.β = c/a

(ii) Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru

      Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q. Jumlah dan hasil kali akar-akarnya (p + q dan p.q) dapat dinyatakan dalam α + β dan/atau α.β

(iii) Substitusikan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru ke x² - (p + q)x + (p.q) = 0

Contoh

Jika akar-akar persamaan kuadrat x² - 5x - 14 = 0 adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: 

${\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-3=0$

a). α- 4 dan β - 4

$\beta +2$

b). α2 + α dan β2 + β

Pembahasan

x² - 5x - 14 = 0 dengan a = 1, b = -5, dan c = -14

α + β = -b/a = -(-5)/1 = 5

α.β = c/a = -14/1 = -14

a). Akar-akar persamaan barunya adalah α - 4 dan β - 4. Misalkan p = α - 4 dan q = β - 4

    p + q = (α - 4) + (β - 4)

             = (α + β) - 8

             = 5 - 8

             = -3

    p.q = (α - 4)(β - 4)

          = αβ - 4α - 4β + 16

          = αβ -4(α + β) + 16

          = (-14) -4(5) + 16

          = -20 + 2

          = -18

    Sehingga persamaan kuadrat barunya adalah 

    x² - (p + q)x + (p.q) = 0 ⇔ x² - (-3)x + (-18) = 0

                                           ⇔ x² + 3x -18 = 0

b). Akar-akar persamaan barunya adalah α2 + α dan β2 + β. Misalkan p = α2 + α  dan q = β2 + β

    p + q = (α2 + α ) + (β2 + β)

             = (α2 + β2) + (α + β) 

             = (α + β)2 - 2αβ + (α + β) 

             = (5)2 - 2(-14) + (5)

             = 25 + 28  + 5

             = 58

    p.q = (α2 + α )(β2 + β)

          = α2β2 + α2β + αβ2 + αβ

          = (αβ)2 + αβ(α + β) + αβ

          = (-14)2 + (-14)(5) + (-14)

          = 196 - 70 - 14

          = 112

    Sehingga persamaan kuadrat barunya adalah 

    x² - (p + q)x + (p.q) = 0 ⇔ x² - (58)x + (112) = 0

                                           ⇔ x² - 58x + 112 = 0

-------------------------

Semoga artikel ini dapat bermanfaat yaa.. Jangan lupa komen apabila ada yang keliru.

Selamat Belajar~

Salam Ngemeal 🍲