Fungsi Kuadrat: Definisi, Grafik, dan Contoh Soal Beserta Pembahasannya
Fungsi...fungsi... fungsi... kayaknya udah pada tau definisi fungsi di luar kepala. Eh engga? masa sih haha. Okee jadi fungsi adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B dengan setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B di mana himpunan A dan himpunan B tidak kosong. Kali ini kita akan ngebahas fungsi kuadrat.
Fungsi kuadrat itu termasuk fungsi polinom atau fungsi suku banyak. Agar lebih jelas lagi, ini dia definisinya.
Definisi Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua, atau bisa juga disebut fungsi berderajat dua atau berordo dua.
Bentuk umum
Misalkan terdapat fungsi f: x ➝ ax² + bx + c atau dapat dituliskan
f(x) = ax² + bx + c ⇔ y = ax² + bx + c, a ≠ 0
dengan a, b, c ∈ R, x adalah variabel bebas (variabel yang menjelaskan variabel terikat), y atau f(x) adalah variabel terikat (variabel yang dijelaskan oleh variabel bebas), a adalah koefisien dari x², b adalah koefisien dari x, dan c adalah konstanta.
Apabila ingin tau bagaimana mencari daerah asal suatu fungsi kuadrat, bisa dicek disini.
Grafik Fungsi Kuadrat
Melukis/Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, tidak efisien apabila menggunakan metode mendaftar seperti fungsi linear. Grafik fungsi kuadrat berbentuk kurva seperti gunung atau lembah, sehingga memiliki titik puncak atau titik balik. Bagaimana cara membuat sketsa grafiknya? Check this out!
Langkah 1
Menentukan titik potong dengan sumbu x. Syaratnya adalah y = 0.
Langkah 2
Menentukan titik potong dengan sumbu y. Syaratnya adalah x = 0.
Langkah 3
Menentukan sumbu simetri, yaitu 
x = -b/2a. Sebenarnya kalau tidak dicari juga tak apa karena ada titik puncak. Tapi gapapa, sekalian belajar hehe.
x = -b/2a. Sebenarnya kalau tidak dicari juga tak apa karena ada titik puncak. Tapi gapapa, sekalian belajar hehe.Langkah 4
Menentukan titik puncak atau titik balik, yaitu (-b/2a, -D/4a). D adalah diskriminan, dan dapat ditentukan dengan rumus D = b² - 4ac. Terdapat 2 tipe titik balik, yaitu titik balik maksimum dan titik balik minimum. Apabila a > 0, maka grafik memiliki titik balik maksimum dan kurvanya terbuka ke bawah (seperti gunung). Sebaliknya, apabila a < 0, grafik memiliki titik balik minimum dan kurvanya terbuka ke atas (seperti lembah).
(-b/2a, -D/4a). D adalah diskriminan, dan dapat ditentukan dengan rumus D = b² - 4ac. Terdapat 2 tipe titik balik, yaitu titik balik maksimum dan titik balik minimum. Apabila a > 0, maka grafik memiliki titik balik maksimum dan kurvanya terbuka ke bawah (seperti gunung). Sebaliknya, apabila a < 0, grafik memiliki titik balik minimum dan kurvanya terbuka ke atas (seperti lembah).Langkah 5
Menentukan sebarang titik bantu. Maksudnya, mencari beberapa titik lainnya yang melalui grafik fungsinya agar sketsanya lebih jelas dan tepat. Boleh berapa saja, sesuai keinginan kalian. Bahkan apabila kalian ingin melewati langkah ini juga silahkan. Tetapi semakin banyak titik bantu, melukis grafiknya akan semakin bagus. Caranya, pilih sebarang x, lalu substitusikan x yang dipilih ke fungsinya sehingga diperoleh y. Udah deh, kita dapatkan satu titik (x,y) yang melalui grafik fungsi.
Langkah 6
Sketsa. Sambungkan titik-titik yang sudah kita temukan, tapi jangan sambungkan dengan garis lurus ya!
Agar lebih paham, coba kita gambarkan grafik f(x) = 2x² + 5x - 3.
Langkah 1: Titik potong sumbu x. Syarat y = 0.
f(x) = 2x² + 5x - 3 ⇒ 0 = 2x² + 5x - 3
⇔ 0 = (2x - 1)(x + 3)
⇔ 2x - 1 = 0 atau x + 3 = 0
Jadi diperoleh titik potong sumbu x nya adalah (1/2, 0), (-3, 0).
Langkah 2: Titik potong sumbu y. Syarat x = 0.
f(x) = 2x² + 5x - 3 ⇒ y = 2(0)² + 5(0) - 3
⇔ y = 0 + 0 - 3
⇔ y = -3
Jadi diperoleh titik potong sumbu y nya adalah (0, -3).
Langkah 3: Sumbu simetri grafik f(x) = 2x² + 5x - 3, dengan a = 2, b = 5, dan c = -3
x = -b/2a ⇒ x = -5/2(2)
⇔ x = -5/4
Jadi diperoleh sumbu simetrinya adalah x = -5/4.
Langkah 4: Titik balik. Karena a = 2 > 0, maka grafiknya akan terbuka ke atas (seperti lembah) dan titik baliknya adalah titik balik minimum.
(-b/2a, -D/4a) ⇔ (-b/2a, -[b² - 4ac]/4a) ⇒ (-5/2(2), -[(5)² - 4(2)(-3)]/4(2))
⇔ (-5/4, -[25 + 24)]/8)
⇔ (-5/4, -49/8)
Jadi diperoleh titik balik minimumnya adalah (-5/4, -49/8).
Langkah 5: Titik bantu.
Dipilih x = 1, maka
f(x) = 2x² + 5x - 3 ⇒ y = 2(1)² + 5(1) - 3
⇔ y = 2 + 5 - 3
⇔ y = 4
diperoleh titik (1, 4)
Dipilih x = 2, maka
f(x) = 2x² + 5x - 3 ⇒ y = 2(2)² + 5(2) - 3
⇔ y = 8 + 10 - 3
⇔ y = 15
diperoleh titik (2, 15)
Langkah 6: Sketsa
Kita sudah peroleh
Titik potong sumbu x: (1/2, 0), (-3, 0)
Titik potong sumbu y: (0, -3)
Sumbu simetri: x = -5/4
Titik balik/ titik puncak: (-5/4, -49/8)
Titik bantu (optional): (1, 4), (2, 15)
Jadi sketsa grafiknya adalah sebagai berikut.
Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat (kurva)
Hanya dengan mengetahui a dan D dari fungsi kuadrat, kita bisa tau bagaimana bentuk grafiknya loh!!
Misalkan terdapat f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0. D atau diskriminan memiliki rumus D = b² - 4ac.
Apabila:
Menyusun Fungsi Kuadrat
Misalkan kita ingin menyusun fungsi f menjadi f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0.
- Apabila diketahui titik potong terhadap sumbu x, yaitu (x1, 0) dan (x2, 0). [Jika kurva hanya menyinggung di titik m, maka x1 = x2 = m]
- Apabila diketahui titik balik atau titik puncaknya, yaitu (p,q)
- Apabila diketahui melalui beberapa titik.
Contoh Soal
1. Tentukan koordinat titik balik dari g(x) = 8 - 2x - x²!
Jawab
g(x) = 8 - 2x - x² dengan a = -1, b = -2, c = 8
Titik balik: (-b/2a, -D/4a) ⇔ (-b/2a, -[b² - 4ac]/4a)
(-b/2a, -D/4a) ⇔ (-b/2a, -[b² - 4ac]/4a) ⇒ (-(-2)/2(-1), -[(-2)² - 4(-1)(8)]/4(-1))
⇔ (-1, -[36]/-4)
⇔ (-1, 9)
Jadi titik balik dari g(x) = 8 - 2x - x² adalah (-1, 9).
2. Apabila sebuah fungsi kuadrat f melalui titik (-4,0), (3/2, 0), dan (2, 6), fungsi kuadratnya adalah ...
Jawab
Titik (-4,0) dan (3/2, 0) adalah titik potong terhadap sumbu x karena y = 0.
Misalkan x1 = -4 dan x2 = 3/2
y = a(x - x1)(x - x2) ⇒ y = a(x - (-4))(x - (3/2))
⇔ y = a(x + 4)(x - 3/2)
⇔ y = a(x² - (3/2)x + 4x - 6)
⇔ y = a(x² + (5/2)x - 6)
Substitusikan (2, 6) ke y = a(x²+ (5/2)x - 6)
y = a(x²+ (5/2)x - 6) ⇒ 6 = a(2²+ (5/2)(2) - 6)
⇔ 6 = a(4 + 5 - 6)
⇔ 6 = a(3)
⇔ a = 2
Substitusikan a = 2 ke y = a(x² + (5/2)x - 6)
y = a(x²+ (5/2)x - 6) ⇒ y = 2(x²+ (5/2)x - 6)
⇔ y = 2x²+ 5x - 12
Jadi fungsi kuadratnya adalah y = 2x²+ 5x - 12.
3. Suatu sumbu simetri grafik fungsi f(x) = ax² + bx + c adalah x = -1. Jika f(0) = -3 dan f(5) = 32, tentukan titik minimum fungsi tersebut!
Jawab
Rumus sumbu simetri adalah x = -b/2a, maka x = -b/2a = -1
-b/2a = -1 ⇔ b = 2a
⇔ -2a + b = 0 ... (i)
f(0) = -3, artinya f(x) = -3 untuk x = 0, lalu substitusikan ke f(x) = ax² + bx + c
f(x) = ax² + bx + c ⇒ -3 = a(0)² + b(0) + c
⇔ c = -3
f(5) = 32, artinya f(x) = 32 untuk x = 5, lalu substitusikan ke f(x) = ax² + bx + c
f(x) = ax² + bx + c ⇒ 32 = a(5)² + b(5) + (-3)
⇔ 32 = 25a + 5b -3
⇔ 25a + 5b = 35
⇔ 5a + b = 7 ... (ii)
Dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh:
-2a + b = 0
5a + b = 7
------------- -
-7a + 0 = -7 ⇔ a = 1
Substitusikan a ke persamaan (i)
-2a + b = 0 ⇒ -2(1) + b = 0
⇔ b = 2
Substitusikan a = 1, b = 2, c = -3 ke f(x) = ax² + bx + c, sehingga diperoleh f(x) = x² + 2x - 3
Titik minimum adalah titik balik fungsi.
Titik minimum: (-b/2a, -D/4a) ⇔ (-b/2a, -[b² - 4ac]/4a)
(-b/2a, -D/4a) ⇔ (-b/2a, -[b² - 4ac]/4a) ⇒ (-2/2(1), -[(2)² - 4(1)(-3)]/4(1))
⇔ (-1, -[16]/4)
⇔ (-1, -4)
Jadi minimumnya adalah (-1, -4).
---------------------------------------------------------------------------------------
Semoga artikel ini dapat bermanfaat. Apabila ada yang keliru atau ada yang ingin ditanyakan, tolong tulis di kolom komentar yaa.. agar kita bisa saling share informasi 😊
Selamat Belajar ~
Salam Ngemeal 🍲
Komentar
Posting Komentar