Logaritma (Part II): Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma Kelas 10

Hayoo, masih ingat dengan materi logaritma sebelumnya? Jangan tertukar dengan eksponen yaa..

Di eksponen kita mencari hasil pangkatnya, sedangkan logaritma kita mencari besar pangkatnya. Dengan kata lain, aⁿ = b dapat dituliskan dalam bentuk logaritma menjadi

 

dengan a, b > 0 dan a ≠ 1. 

Keterangan:

a adalah bilangan pokok (basis)

b adalah bilangan yang dicari nilai logaritmanya (numerus)

n adalah besar pangkat (nilai logaritma)

Masih ingat dengan persamaan dan pertidaksamaan? Saya yakin kalian pasti sudah hatam dengan kedua istilah tersebut. Persamaan dan pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka matematika. Bedanya, persamaan dihubungkan dengan "=", sedangkan pertidaksamaan dihubungkan dengan ">", "<", "≠", "≥", atau "≤". Biasanya pada soal persamaan dan pertidaksamaan, tugas kita adalah mencari himpunan penyelesaiannya, atau dengan kata lain mencari nilai variabel yang belum diketahui agar memenuhi persamaan atau pertidaksamaannya.

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang memuat bentuk logaritma dengan numerus berupa bilangan atau fungsi, dan basis yang juga dapat berupa bilangan ataupun fungsi. Agar lebih paham, perhatikan contoh berikut ini.

(i) ²log (x+3) = ²log (2x-1) [persamaan logaritma dengan basis berupa bilangan dan numerus berupa fungsi]

(ii) ^x+1log (2x-3) = ^x+1log (x+5) [persamaan logaritma dengan basis dan numerus yang keduanya berupa fungsi]

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma, caranya berbeda-beda tergantung bentuk persamaannya. Berikut bentuk-bentuk persamaan logaritma.

Bentuk ^alog f(x) = n

Jika ^alog f(x) = n, maka f(x) = aⁿ dengan syarat a > 0, a ≠ 1, dan f(x) > 0. 

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari:

1) ³log (3x+9) = 4

2) ^4x+1log (15x² + 13x - 5) = 2

Pembahasan:

1) ³log (x+3) = 4 ⇔ 3x + 9 = 3⁴

                            ⇔ 3x + 9 = 81

                            ⇔       3x = 72

                            ⇔         x = 24

    Jadi, HP = {24}

2). ^4x+1log (15x² + 13x - 5) = 2 ⇔ 15x² + 13x - 5 = (4x+1)² 

                                                 ⇔ 15x² + 13x - 5 = 16x² + 8x + 1

                                                 ⇔      -x² + 5x - 6 = 0

                                                 ⇔       x² - 5x + 6 = 0

                                                 ⇔   (x - 2)(x + 3) = 0

                                                 ⇔ x - 2 = 0 atau x - 3 = 0

                                                 ⇔ x = 2 atau x = 3

    Syarat: a > 0 ⇒ 4x + 1 > 0 atau x > -1/4, sehingga x = 2 dan x = 3 memenuhi. Jadi, HP = {2, 3}.

Bentuk ^alog f(x) = ^alog b

Jika ^alog f(x) = ^alog b, maka f(x) = b, dengan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0, dan f(x) > 0.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari log (x² -2) = log 14!

Pembahasan:

log (x² -2) = log 14 ⇒ x² -2 = 14

                               ⇔            x² -16 = 0

                               ⇔ (x - 4)(x + 4) = 0

                               ⇔ x - 4 = 0 atau x + 4 = 0

                               ⇔ x = 4 atau x = -4

Jadi, HP = {-4, 4}

Bentuk ^alog f(x) = ^alog g(x)

Jika ^alog f(x) = ^alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan syarat, a > 0, a ≠ 1, g(x) > 0, dan f(x) > 0.

Contoh: 

Tentukan penyelesaian dari  ²log (x + 1) = 1 + ²log (x - 9)!

Pembahasan:

       ²log (x + 1) = 1 + ²log (x - 9) 

⇔ ²log (x + 1) = ²log 2 + ²log (x - 9)

⇔ ²log (x + 1) = ²log 2(x-9)

⇔ ²log (x + 1) = ²log (2x-18)

⇒            x + 1 = 2x - 18

⇔                -x = -19

⇔                 x = 19

Jadi, HP = {19}

Bentuk ^alog f(x) = ^plog f(x)

Jika ^alog f(x) = ^plog f(x), dengan a ≠ p; a, p > 0; a, p ≠ 1 maka f(x) = 1.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari ²log (3x - 4) = ⁵log (3x - 4)!

Pembahasan:

²log (3x - 4) = ⁵log (3x - 4) ⇒ 3x - 4 = 1

                                            ⇔     3x = 5

                                            ⇔       x = 5/3

Jadi, HP = {5/3}

Bentuk ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x)

Jika ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x), maka f(x) = g(x), dengan syarat, h(x) > 0, h(x) ≠ 1, g(x) > 0, dan f(x) > 0.

Contoh: 

Tentukan penyelesaian dari ^x-2log (x³ + 2x² - 3) = ^x-2log (x³ - 5x)!

Pembahasan:

^x-2log (x³ + 2x² - 3) = ^x-2log (x³ - 5x) ⇒ x³ + 2x² - 3 = x³ - 5x

                                                          ⇔ 2x² + 5x - 3 = 0

                                                          ⇔ (2x - 1)(x + 3) = 0

                                                          ⇔ 2x - 1 = 0 atau x - 3 = 0

                                                          ⇔ x = 1/2 atau x = 3

Eits! Hati-hati gengs.

Syarat: h(x) > 0 ⇒ x - 2 > 0 atau x > 2, sehingga x = 1/2 tidak memenuhi. Jadi, HP = {3}.

Bentuk p[^alog f(x)]² + q ^alog f(x) + r = 0

Bentuk persamaan logaritma ini dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dengan memisalkan bentuk logaritmanya. Misalkan  z = ^alog f(x), maka persamaan logaritma dapat diubah menjadi pz² + qz + r = 0 lalu diselesaikan layaknya menyelesaikan persamaan kuadrat. Jangan lupa hasilnya disubstitusikan kembali ke z = ^alog f(x).

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari [³log (x+1)]² - (1/2) ³log (x+1)⁶ = ³log 81!

Pembahasan:

         [³log (x+1)]² - (1/2) ³log (x+1)⁶ = ³log 81

⇔ [³log (x+1)]² - (1/2)(6) ³log (x+1) = ³log 3⁴ 

⇔          [³log (x+1)]² - 3. ³log (x+1) = 4 

⇔      [³log (x+1)]² - 3. ³log (x+1) -4 = 0

misalkan z = ³log (x+1), maka 

          z² - 3z - 4 = 0

⇔ (z - 4)(z + 1) = 0

⇔ z - 4 = 0 atau z + 1 = 0

⇔ z = 4 atau z = -1

Substitusikan z = ³log (x+1)

    z = 4 ⇒  ³log (x+1) = 4

             ⇔  x + 1 = 3⁴

             ⇔  x + 1 = 81

             ⇔        x = 80

    z = -1 ⇒ ³log (x+1) = -1

              ⇔  x + 1 = 3^-1

              ⇔  x + 1 = 1/3

              ⇔        x = -2/3

Jadi, HP = {-2/3, 80}.

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma dengan numerus berupa bilangan atau fungsi, dan basis yang juga dapat berupa bilangan ataupun fungsi. Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma tidak jauh berbeda dengan persamaannya. Konsepnya mirip dengan pertidaksamaan eksponen. Akan tetapi, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan. Berikur sifat-sifat dari pertidaksamaan logaritma.

(i)  Jika ^alog f(x) ≥ ^alog g(x), maka:

     f(x) ≥ g(x) apabila a > 1

     f(x) ≤ g(x) apabila 0 < a < 1

(ii) Jika ^alog f(x) > ^alog g(x), maka:

     f(x) > g(x) apabila a > 1

     f(x) < g(x) apabila 0 < a < 1

(iii) Jika ^alog f(x) ≤ ^alog g(x), maka:

     f(x) ≤  g(x) apabila a > 1

     f(x) ≥ g(x) apabila 0 < a < 1

(iv) Jika ^alog f(x) < ^alog g(x), maka:

     f(x) <  g(x) apabila a > 1

     f(x) > g(x) apabila 0 < a < 1

Syarat: a > 0, a  ≠ 1, f(x) > 0, dan g(x) > 0

Gampangnya, yang harus kalian perhatikan adalah nilai basisnya. Apabila a > 1, maka tanda pertidaksamaannya tetap. Apabila 0 < a < 1 (nilai basisnya berupa pecahan), maka tanda pertidaksamaannya berubah menjadi kebalikannya. 

Sama halnya dengan persamaan logaritma, dapat dilakukan pemisalan bentuk logaritma pada pertidaksamaan logaritma untuk mempermudah pengerjaan soal.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari:

1). ³log (x+3) > 4

2). ^1/2log (x² -2) ≤ ^1/2log 14 

3). (²log x - 4)(1/^xlog 2) < 5

Pembahasan:

1). Syarat:

     x + 3 > 0 ⇔ x > -3 ... (i)

         ³log (x+3) > 4

    ⇔ ³log (x+3) >  ³log 3⁴

    Karena 3 > 0, maka

         x + 3 > 81 [tanda pertidaksamaan tetap]

    ⇔       x > 78 ... (ii)

Dari (i) dan (ii), diperoleh HP = x > 78 ∩ x > -3 = {x| x > 78}.

2). ^1/2log (x² -2) ≤ ^1/2log 14

        Syarat:

              x² -2 > 0

        ⇔ (x -√2)(x + √2) >0

        

        sehingga x < -√2 atau x > √2 ...(i)

    ^1/2log (x² -2) ≤ ^1/2log 14 

    Karena 0 < a = 1/2 < 1, maka

        x² -2 ≥ 14 [tanda pertidaksamaan berubah]

    ⇔ x² - 16 ≥ 0

    ⇔ (x-4)(x+4)≥ 0

    

    sehingga x ≤ -4 atau x ≥ 4 ...(ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh HP = x < -√2 atau x > √2 ∩ x ≤ -4 atau x ≥ 4 = {x| x ≤ -4 atau x ≥ 4}.

3). Syarat:

     x > 0 ... (i)

       

          (²log x - 4)(1/^xlog 2) < 5

     ⇔ (²log x - 4)(²log x) < 5
     ⇔ (²log x)² - 4. ²log x - 5 < 0

     misalkan p = ²log x, maka

          p² - 4p - 5 < 0

    ⇔ (p - 5)(p+1) < 0

    

    sehingga -1 < p < 5

    Substitusikan p = ²log x

     -1 < p < 5 ⇔ p > -1 dan p < 5

    p > -1 ⇒ ²log x > -1

              ⇔ ²log x > ²log 2^-1

              ⇒ x > 2^-1      [basisnya 2 > 0]

              ⇔ x > 1/2 ... (ii)

    p < 5 ⇒ ²log x < 5

              ⇔ ²log x < ²log 2⁵

              ⇒ x < 2⁵      [basisnya 2 > 0]

              ⇔ x < 32 ... (iii)

Dari (i), (ii), (iii) diperoleh HP = x > 0 ∩ x > 1/2 ∩ x < 32 ={x| 1/2 < x < 32}.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Begitulah mengenai persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Agar lebih paham lagi, perbanyak kerjakan latihan soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Selama kalian mengerti konsepnya, semuanya akan mudah kok.

Semoga bermanfaat yaa. Apabila ada yang keliru, silakan dikomen.

Selamat belajar~

Salam ngemeal 🍲